5. Повторные пределы.

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

5. Повторные пределы.

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела. Уясним это понятие на примере функции двух переменных Пусть функция задана в некоторой прямоугольной окрестности точки за исключением, быть может, самой точки Пусть для каждого фиксированного у, удовлетворяющего условию существует предел функции одной переменной х в точке

и пусть, кроме того, существует предел b функции в точке

В этом случае говорят, что существует повторный предел Ь для функции в точке который обозначается следующим образом:

Аналогично определяется повторный предел

Установим достаточные условия равенства двух введенных повторных пределов.

Теорема 12.3. Пусть функция определена в некоторой прямоугольной окрестности точки и имеет в этой точке предел, равный Пусть, кроме того, для любого фиксированного существует предел и для любого фиксированного существует предел Тогда повторные предела существуют и оба равны

Доказательство. Так как функция имеет в точке предел то для любого можно указать такое что при выполняется неравенство Таким образом, в прямоугольной окрестности точки значение функции отличается от b не больше чем на . Но тогда пределы указанные в формулировке теоремы при х и у,

удовлетворяющих неравенствам также отличаются от Ь не больше чем на . Следовательно, и пределы этих функций в точках соответственно существуют и равны Теорема доказана.

Можно определить понятие повторного предела для так называемых двойных последовательностей элементы которых определяются двумя индексами Именно символ означает, что сначала определяется последовательность а затем находится предел этой последовательности

Рассмотрим, например, двойную последовательность где

— фиксированное число. Докажем, что

В самом деле, если где — целые числа, второе из которых положительно, то при имеем и поэтому Иными словами, если х — рациональное число, то Если же х — иррациональное число, то при любом справедливо неравенство и поэтому