5. Повторные пределы.
Для функции 
нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных 
при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела. Уясним это понятие на примере функции 
двух переменных 
Пусть функция 
задана в некоторой прямоугольной окрестности 
точки 
за исключением, быть может, самой точки 
Пусть для каждого фиксированного у, удовлетворяющего условию 
существует предел функции 
одной переменной х в точке 
и пусть, кроме того, существует предел b функции 
в точке
В этом случае говорят, что существует повторный предел Ь для функции 
в точке 
который обозначается следующим образом:
Аналогично определяется повторный предел
Установим достаточные условия равенства двух введенных повторных пределов.
Теорема 12.3. Пусть функция 
определена в некоторой прямоугольной окрестности 
точки 
и имеет в этой точке предел, равный 
Пусть, кроме того, для любого фиксированного 
существует предел 
и для любого фиксированного 
существует предел 
Тогда повторные предела 
существуют и оба равны 
Доказательство. Так как функция 
имеет в точке 
предел 
то для любого 
можно указать такое 
что при 
выполняется неравенство 
Таким образом, в прямоугольной окрестности 
точки 
значение функции 
отличается от b не больше чем на 
. Но тогда пределы 
указанные в формулировке теоремы при х и у,
удовлетворяющих неравенствам 
также отличаются от Ь не больше чем на 
. Следовательно, и пределы этих функций в точках 
соответственно существуют и равны 
Теорема доказана.
Можно определить понятие повторного предела для так называемых двойных последовательностей 
элементы 
которых определяются двумя индексами 
Именно символ 
означает, что сначала определяется последовательность 
а затем находится предел этой последовательности 
Рассмотрим, например, двойную последовательность 
где 
— фиксированное число. Докажем, что
В самом деле, если 
где 
— целые числа, второе из которых положительно, то при 
имеем 
и поэтому 
Иными словами, если х — рациональное число, то 
Если же х — иррациональное число, то при любом 
справедливо неравенство 
и поэтому
Замечание. Используя полученный результат, мы можем аналитическим способом задать функцию Дирихле (см. 
§ 4 гл. 3) как повторный предел 
