7. Производные второго порядка.

Рассмотрим дифференцируемое отображение Мы уже отмечали, что производная этого отображения при каждом фиксированном есть элемент пространства — пространства линейных ограниченных операторов на действующих в Допустим, что отображение в свою очередь, дифференцируемо. Производная отображения называется второй производной отображения и обозначается символом При каждом фиксированном х отображение является» очевидно, элементом пространства — пространства линейных ограниченных операторов, действующих из

Элементы этого пространства допускают и другую интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.

Определение. Отображение отображающее нормированное пространство в нормированное пространство называется билинейным, если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие элемент из так, что выполнены следующие свойства:

1. Для любых из и любых чисел имеют место равенства

2. Существует такое положительное число М, что

при

Первое из этих условий означает, что билинейное отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов. Второе условие означает ограниченность билинейного отображения В. Так же, как и в случае линейного отображения дополнение 1), показывается, что ограниченное билинейное отображение является непрерывным уже по совокупности своих аргументов.

Определение. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию называется нормой билинейного отображения В и обозначается символом

Точно так же, как и над линейными операциями (операторами) (см. дополнение 1), над билинейными операциями можно определить операцию сложения двух билинейных отображений, по определению положив а также операцию умножения отображения В на число а: Поскольку для билинейной операции В определена и его норма, то билинейные отображения пространства в пространство сами образуют линейное пространство. Обозначим его (здесь индекс 2 над символом означает, что из пространства берется два элемента которые переводятся отображением В в один элемент пространства

Так же, как и в случае линейных отображений, показывается (см. дополнение 1), что если пространство банахово (полное), то и пространство будет банаховым.

Докажем следующее

Утверждение. Между элементами пространства и пространства можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные рации (т. е. если элементу отвечает элемент а элементу отвечает элемент то элементу отвечает элемент где — любые числа).

Действительно, каждому элементу поставим в соответствие элемент В из по правилу

Это соответствие, очевидно, линейно.

Покажем, что это соответствие сохраняет и нормы элементов, т. е. покажем, что Отсюда, в частности и будет следовать взаимная однозначность соответствия. Действительно, если бы два различных элемента при изометричном соответствии переходили бы в один элемент, то их разность соответствовала бы нулевому элементу. Норма этой разности равнялась бы норме нулевого элемента, т. е. нулю. Таким образом, элементы совпадали бы, что противоречит их выбору.

Итак, докажем, что если элементу отвечает элемент то причем нормы элементов берутся в соответствующих пространствах.

Пусть . Тогда

откуда

С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном отображение является линейным отображением пространства

Таким образом, каждому ставится в соответствие элемент пространства Очевидно, что линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства

При этом отображение В восстанавливается по А при помощи формулы

Далее,

Таким образом,

Следовательно, из соотношений получаем, что

Нами, таким образом, доказано, что соответствие между пространствами линейно и изометрично. При этом образ пространства при таком соответствии есть все пространство Утверждение доказано.

Из доказанного утверждения следует, что если берется какой-нибудь элемент пространства то всегда! можно указать его образ в пространстве

Более того, норма элемента в исходном пространстве и норма его образа совпадают. Сохраняются также линейные операции при построенном соответствии в пространствах Такие пространства можно не различать; называются они изоморфными. Эти пространства отличаются только тем, что их элементы имеют различную природу, а все остальные свойства пространств одинаковы.

В частности, мы выяснили, что вторая производная отображения является элементом пространства . В соответствии с только что сказанным мы: можем считать элементом пространства