3. Понятие дифференциала функции.
Рассмотрим функцию 
дифференцируемую в данной точке х. Приращение 
такой функции в точке х может быть представлено в виде (5.7).
Заметим, что приращение (5.7) представляет собой сумму двух слагаемых, первое из которых 
линейно относительно 
а второе а 
является в точке 
бесконечно малой фуцкцией более высокого порядка, чем 
Если число А, равное согласно теореме 5.1 производной 
отлично от нуля, то указанное первое слагаемое 
представляет собой главную часть приращения А у дифференцируемой функции 
Эта главная часть приращения является линейной однородной функцией аргумента 
и называется дифференциалом функции 
В случае, если 
дифференциал функции по определению считается равным нулю.
Итак, дифференциалом функции 
в данной фиксированной точке х, отвечающим приращению аргумента 
называется число, обозначаемое символом 
и равное
В случае 
это число представляет собой главную часть приращения А у функции 
линейную и однородную относительно приращения аргумента 
Сразу же отметим, что дифференциал 
и приращение А у функции 
в данной точке х, оба отвечающие одному и тому же приращению аргумента 
вообще говоря, не равны друг другу.
Это легко уяснить из рассмотрения графика функции 
(рис. 5.2). Пусть М и Р — точки графика функции 
отвечающие значениям аргумента, соответственно равным 
касательная к графику в точке 
— точка пересечения касательной 
с прямой 
Тогда приращение А у функции 
в точке х, отвечающее приращению аргумента 
очевидно, равно величине отрезка 
в то время как дифференциал 
этой функции в точке х, отвечающий тому же самому 
равен величине отрезка 
(Это сразу вытекает из формулы (5.11) и из того, что в прямоугольном
Рис. 5.2
треугольнике 
величина отрезка 
равна 
а тангенс угла 
равен 
Ясно, что величины отрезков 
являются, вообще говоря, различными.
Весьма удобно ввести в рассмотрение понятие дифференциала аргумента х. При этом следует различать два случая: 1) случай, когда указанный аргумент х представляет собой независимую переменную, 2) случай, когда аргумент х сам является дифференцируемой функцией вида 
некоторой новой пере" менной 
которую мы можем считать независимой.
Договоримся для случая, когда аргумент х является независимой переменной, отождествлять дифференциал этого аргумента с его приращением 
т. е. считать, что 
В силу этой договоренности равенство (5.11) принимает вид
Таким образом, для случая, когда аргумент х является независимой переменной, для дифференциала функции 
справедливо представление (5.12).
Ниже в 
§ 3 мы докажем, что представление (5.12) носит универсальный характер и справедливо также и в случае, когда аргумент х не является независимой переменной, а является дифференцируемой функцией вида 
некоторой независимой переменной 
. (В этом случае в формуле (5.12) величину 
нельзя считать равной 
ибо в силу сказанного выше она равна 
