4. Достаточные условия дифференцируемости.

Займемся выяснением достаточных условий дифференцируемости функции переменных. Докажем следующую теорему.

Теорема 12.10. Если функция имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности.

точки причем все эти частные производные непрерывны в самой точке то указанная функция дифференцируема в точке

Доказательство. Для сокращения записи проведем доказательство для функции двух переменных Итак, пусть частные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Дадим аргументам х и у столь малые приращения чтобы точка не выходила за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение можно записать в виде

Выражение можно рассматривать как приращение функции одной переменной х на сегменте Поскольку функция имеет частные производные, указанная функция дифференцируема и ее производная по х представляет собой частную производную Применяя к указанному приращению формулу Лагранжа, найдем такое из интервала что

Рассуждая совершенно аналогично, получим

Так как производные непрерывны в точке то

где — бесконечно малые при функции. Отсюда, учитывая приведенные выражения для

и выражение для найдем

Следовательно, функция дифференцируема в точке

Для функции переменных рассуждения аналогичны, нужно только полное приращение такой функции представить в виде

Теорема доказана.