§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ НЕЯВНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ

1. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции.

В дальнейшем мы договоримся обозначать пространство переменных символом а пространство переменных символом Для сокращения записи и для удобства геометрической иллюстрации будем рассматривать две переменные и .

Теорема 13.1. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки пространства причем частная производная непрерывна в точке Тогда если в точке функция обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа найдется такая окрестность точки пространства что в пределах этой окрестности существует единственная функция которая удовлетворяет

условию и является решением уравнения

причем эта функция непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки

Замечание 1. В условиях теоремы 13.1 можно опустить требование непрерывности частной производной в точке но тогда придется дополнительно потребовать, чтобы эта производная не обращалась в нуль не только в самой точке но и в некоторой ее окрестности и сохраняла определенный знак в этой окрестности.

Доказательство теоремы. 13.1.1. Прежде всего докажем, что для достаточно малого в окрестности точки существует единственная функция , удовлетворяющая условию и являющаяся решением уравнения (13.1).

Рис. 13.2

Чтобы сделать доказательство более наглядным, будем сопровождать его геометрической иллюстрацией. Из аналитической геометрии известно, что уравнение (13.1) определяет в пространстве некоторую поверхность (рис. 13.2), причем в силу условия точка лежит на эгой поверхности. С геометрической точки зрения однозначная разрешимость уравнения (13.1) относительно, и означает, что часть поверхности лежащая в непосредственной близости к точке может быть однозначно спроектирована на плоскость

Ради определенности будем считать, что частная производная положительна в точке Тогда из непрерывности указанной производной в и из теоремы об устойчивости знака непрерывной функции вытекает, что найдется такая окрестность точки всюду в пределах которой положительна. Эту окрестность мы можем взять в виде шара Q достаточно малого радиуса с центром в точке Фиксируем далее положительное число в настолько малым, чтобы каждая из точек и

лежала внутри шара (для этого достаточно взять меньшим радиуса шара Подчеркнем, что при этом снизу ограничено лишь нулем, и мы можем брать его как угодно малым — это будет использовано нами ниже.

Рассмотрим функцию одной переменной и на сегменте . С геометрической точки зрения это означает, что мы рассматриваем функцию трех переменных вдоль отрезка (см. рис. 13.2). Так как производная положительна на сегменте то функция возрастает на этом сегменте. Но тогда, поскольку эта функция равна нулю в середине указанного сегмента (т. е. при то имеет отрицательное значение на левом конце и положительное значение на правом конце указанного сегмента, т. е. Далее рассмотрим функции двух переменных 4 и т. е., выражаясь геометрическим языком, рассмотрим функцию на двух плоскостях, параллельных координатной плоскости первая из которых проходит через точку а вторая — через точку Поскольку и функция непрерывна всюду в шаре то по теореме об устойчивости знака непрерывной функции на указанных плоскостях найдутся такие окрестности точек в пределах которых функция сохраняет те же знаки, что и в точках Эти окрестности мы можем взять в виде открытых квадратов с центрами в точках и с достаточно малой стороной 26 (на рис. 13.2 указанные квадраты заштрихованы). Аналитически тот факт, что функция сохраняет постоянный знак на указанных квадратах, выражается неравенствами

Выборы стороны указанных квадратов мы подчиним и еще одному условию: возьмем столь малым, чтобы оба указанных квадрата лежали внутри шара (это заведомо можно сделать, ибо центры квадратов являются внутренними точками шара При таком выборе любая точка пространства (и, координаты которой удовлетворяют неравенствам

будет лежать внутри шара . С геометрической точки зрения неравенства (13.3) определяют открытый прямоугольный параллелепипед с центром в точке и со сторонами, параллельными осям координат и, и соответственно равными .

Этот параллелепипед мы будем обозначать символом П. Так как параллелепипед П лежит внутри шара Q, то всюду в параллелепипеде П производная положительна. Кроме того, в силу (13.2) функция отрицательна на нижнем основании и положительна на верхнем основании П.

Докажем теперь, что уравнение (13.1) однозначно разрешимо относительно и, если функцию рассматривать лишь для значений и, лежащих внутри параллелепипеда П. Пусть — любая точка пространства координаты которой удовлетворяют неравенствам

Иначе говоря, пусть — любая точка плоскости лежащая внутри квадрата с центром в точке и со сторонами, равными 26. Требуется доказать, что для координат точки М найдется, и притом единственное, число и из интервала такое, что (С геометрической точки зрения это означает, что любая прямая, параллельная оси и и пересекающая параллелепипед П, пересекает поверхность внутри параллелепипеда П в одной и только в одной точке.)

Зафиксировав значения удовлетворяющие неравенствам (13.4), рассмотрим функцию аргумента и на сегменте т. е. рассмотрим функцию на отрезке где — точки пересечения прямой, проходящей через точку и параллельной оси Ом, с основаниями параллелепипеда П (см. рис. 13.2). Так как производная - положительна на сегменте то функция возрастает на этом сегменте (или, что то же самое, возрастаем на отрезке Но тогда из условий вытекает, что внутри сегмента найдется одно единственное значение и такое, что (или, выражаясь геометрически, внутри отрезка найдется единственная точка М, лежащая на

Пусть теперь функция символизирует то правило, посредством которого каждой точке из окрестности (13.4) ставится в соответствие единственное число и из интервала для которого Мы доказали, что в окрестности (13.4) существует единственная функция удовлетворяющая условию и являющаяся решением уравнения (13.1).

2. Докажем теперь, что функция непрерывна в любой точке окрестности (13.4). Так как для любой точки

из окрестности (13.4) выполнены те же условия, что для точки то достаточно доказать непрерывность функции лишь в точке Требуется доказать, что для любого достаточно малого положительного существует положительное число такое, что для любых удовлетворяющих неравенствам справедливо неравенство где Если взять в качестве то число, которое выбрано выше при рассмотрении то существование обеспечивается неравенствами (13.3). Остается заметить, что в рассуждениях положительное число может быть взято к а к угодно малым (это отмечалось в ).

Тем самым непрерывность функции установлена. Запишем условие непрерывности функции в точке в разностной форме. Обозначая через полное приращение функции в точке соответствующее приращениям аргументов мы получим, что

3. Остается доказать дифференцируемость функции в любой точке окрестности (13.4). В силу замечания, сделанного в достаточно доказать дифференцируемость функции в самой точке Чтобы это сделать, вычислим полное приращение функции в точке соответствующее приращениям аргументов Поскольку то полное приращение функции в точке соответствующее приращениям аргументов равно нулю. Но в силу условия дифференцируемости функции в точке это полное приращение имеет вид

Здесь все частные производные берутся в точке

Из соотношения (13.5), учитывая, что получаем

Согласно разностной форме условия непрерывности функции в точке можно утверждать, что при Таким образом, можно утверждать, что

лишь при условии

По условию теоремы частная производная отлична от нуля в точке Поскольку при то при достаточно малых выражение не обращается в нуль. В таком случае формулу (13.6) можно поделить на в результате чего мы получим

По теореме о пределе частного двух функций можем утверждать, что

где

Сопоставляя формулы (13.7) и (13.8), окончательно получим

Формула (13.9) доказывает дифференцируемость функции в точке Тем самым теорема 13.1 полностью доказана.

Замечание 2. Приведенное доказательство без всяких затруднений переносится на случай неявной функции, зависящей не от двух, а от любого конечного числа аргументов Случай двух аргументов имеет лишь то преимущество, что допускает наглядную геометрическую иллюстрацию в пространстве .