2. Некоторые классы кубируемых тел.
Цилиндрическим телом будем называть тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными некоторой оси, и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси.
Эти плоскости в пересечении с цилиндрической поверхностью образуют плоские фигуры, называемые основаниями цилиндрического тела, а расстояние
между основаниями цилиндрического тела называется его высотой (рис. 10.6).
Справедливо Следующее
Утверждение. Если основанием цилиндрического тела
является плоская квадрируемая фигура
то тело
кубируемо, причем объем
этого тела равен
где
— площадь основания
цилиндрического тела.
Доказательство. Поскольку плоская фигура
квадрируема, то для любого
можно указать такие описанную и вписанную в эту фигуру многоугольные фигуры Q и Р, что
Объемы цилиндрических многогранных тел
и
основанием которых служат многоугольные фигуры Q и Р, а высота которых равна Я, равны соответственно
Поэтому
Так как многогранное тело
содержит
а многогранное тело
содержится в
то в силу теоремы 10.4 тело
кубируемо. Поскольку
то объем цилиндрического тела
равен
Из свойства аддитивности объема и из доказанного утверждения вытекает кубируемость ступенчатых тел (ступенчатым телом называется объединение конечного числа цилиндрических тел, расположенных так, что верхнее основание каждого