2. Некоторые классы кубируемых тел.

Цилиндрическим телом будем называть тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными некоторой оси, и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси.

Эти плоскости в пересечении с цилиндрической поверхностью образуют плоские фигуры, называемые основаниями цилиндрического тела, а расстояние между основаниями цилиндрического тела называется его высотой (рис. 10.6).

Справедливо Следующее

Утверждение. Если основанием цилиндрического тела является плоская квадрируемая фигура то тело кубируемо, причем объем этого тела равен где — площадь основания цилиндрического тела.

Доказательство. Поскольку плоская фигура квадрируема, то для любого можно указать такие описанную и вписанную в эту фигуру многоугольные фигуры Q и Р, что

Объемы цилиндрических многогранных тел и основанием которых служат многоугольные фигуры Q и Р, а высота которых равна Я, равны соответственно Поэтому

Так как многогранное тело содержит а многогранное тело содержится в то в силу теоремы 10.4 тело кубируемо. Поскольку то объем цилиндрического тела равен

Из свойства аддитивности объема и из доказанного утверждения вытекает кубируемость ступенчатых тел (ступенчатым телом называется объединение конечного числа цилиндрических тел, расположенных так, что верхнее основание каждого

предыдущего из этих тел находится в одной плоскости с нижним основанием последующего; см. рис. 10.7).

Рис. 10.7

Рис. 10.8

Из предыдущих рассуждений непосредственно вытекает утверждение. Если для любого положительного числа можно указать такое содержащее ступенчатое тело и такое содержащееся в ступенчатое тело что , то тело кубируемо.

Пользуясь этим, докажем кубируемость тела вращения.

Утверждение. Пусть функция непрерывна на сегменте . Тогда тело образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции ординатами в точках а и b и отрезком оси от а до b кубируемо и его объем может быть найден по формуле

Доказательство. Разобьем сегмент на частичные сегменты точками Пусть — точные грани на частичном сегменте На каждом таком сегменте построим два прямоугольника с высотами (на рис. 10.8 эти прямоугольники изображены только на одном сегменте . В результате получатся две ступенчатые фигуры, одна из которых содержится в криволинейной трапеции, а другая содержит ее. При вращении криволинейной трапеции и этих ступенчатых фигур мы получим тело и два ступенчатых тела, одно из которых Q содержит а другое Р содержится в Объемы этих тел Q и Р равны соответственно

Легко видеть, что эти выражения представляют собой верхнюю и нижнюю суммы для функции Поскольку эта функция интегрируема, то разность указанных сумм для некоторого разбиения сегмента будет меньше наперед взятого положительного числа . Следовательно, тело кубируемо. Поскольку предел указанных сумм при стремлении диаметра разбиения сегмента к нулю равен то объем тела вычисляется по формуле (10.30).