§ 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

В этом параграфе мы установим одну из важнейших формул математического анализа, имеющую многочисленные приложения как в математике, так и в смежных дисциплинах.

Теорема 6.10 (теорема Тейлора. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка — любой фиксированный номер). Пусть, далее, любое значение аргумента из указанной окрестности, — произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется точка такая, что справедлива следующая формула:

где

Замечание. Так как точка лежит между х и а, то дробь всегда положительна, а поэтому для любого определена степень .

Формула (6.33) называется формулой Тейлора (с центром в точке а), а выражение называется остаточным членом. Как мы увидим ниже, остаточный член может быть записан не только в виде (6.34), но и в других видах. Принято называть остаточный член, записанный в виде (6.34), остаточным членом в общей форме.

Доказательство. Обозначим символом многочлен относительно х порядка фигурирующий в правой части (6.33), т. е. положим

Далее обозначим символом разность

Теорема будет доказана, если мы установим, что определяется формулой (6.34).

Фиксируем любое значение х из окрестности, указанной в формулировке теоремы. Ради определенности будем считать, что . Обозначим через t переменную величину, имеющую областью своего изменения сегмент и рассмотрим вспомогательную функцию следующего вида:

где

Подробнее можно записать так:

Наша цель — выразить исходя из свойств введенной нами функции

Покажем, что функция удовлетворяет на сегменте всем условиям теоремы 6.3 (Ролля).

Из формулы (6.39) и из условий, наложенных на функцию очевидно, что функция непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента Убедимся в том, что Полагая в и принимая во внимание равенство (6.38), будем иметь

Отсюда на основании (6.36) получим Равенство сразу вытекает из формулы (6.39).

Итак, для функции на сегменте выполнены все условия теоремы 6.3 (Ролля). На основании этой теоремы внутри сегмента найдется точка такая, что

Подсчитаем производную Дифференцируя равенство (6.39), будем иметь

Легко видеть, что все члены в правой части (6.41), за исключением последних двух, взаимно уничтожаются. Таким образом,

Полагая в формуле и используя равенство (6.40), получим

Сопоставляя (6.43) и (6.38), окончательно будем иметь

Случай, когда рассматривается совершенно аналогично. Теорема доказана.

Найдем разложение по формуле Тейлора простейшей функции — алгебраического многочлена порядка. Пусть

Тогда, поскольку остаточный член и формула Тейлора (6.33) принимает вид

(Здесь в качестве а можно взять любую точку бесконечной прямой.) Таким образом, формула Тейлора позволяет представить любой многочлен в виде многочлена по степеням где а — любое вещественное число.

Пусть теперь — произвольная функция, удовлетворяющая условиям теоремы 6.10. Постараемся выяснить, какими свойствами обладает многочлен (6.35), фигурирующий в формуле Тейлора для этой функции. Как и выше, будем обозначать этот многочлен символом . Символом обозначим производную по х. Дифференцируя формулу (6.35) по х и затем полагая мы получим следующие равенства:

Таким образом, фигурирующий в формуле Тейлора для произвольной функции многочлен обладает следующим свойством: он сам и его производные до порядка включительно равны в точке соответственно и ее производным до порядка