2. Существование точных граней.

Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества точной верхней (точной нижней) грани не является очевидным и требует доказательства. Докажем следующую основную теорему.

Основная теорема 2.1. Если Множество чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, ограничено сверху (соответственно снизу) и содержит хотя бы один элемент, то у этого множества существует точная верхняя (соответственно точная нижняя) грань.

Доказательство. Мы остановимся лишь на доказательстве существования точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества, ибо существование точной нижней грани у любого ограниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично.

Итак, пусть множество ограничено сверху, т. е. существует такое число М, что каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству

Могут представиться два случая:

1°. Среди элементов множества есть хотя бы одно неотрицательное число. 2°. Все элементы множества являются отрицательными числами. Эти случаи мы рассмотрим отдельно.

1°. Рассмотрим лишь неотрицательные числа, входящие в состав множества Каждое из этих чисел представим в виде бесконечной десятичной дроби и рассмотрим целые части этих десятичных дробей. В силу неравенства все целые части не превосходят числа М, а поэтому найдется наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна а первый десятичный знак равен и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим вторые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы последовательно определим десятичные знаки некоторого числа

Докажем, что это число х и является точной верхней гранью множества Для этого достаточно доказать два утверждения: 1) каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству 2) каково бы ни было число х, меньшее х, найдется хотя бы один элемент х множества удовлетворяющий неравенству

Докажем сначала утверждение 1). Так как х по построению является неотрицательным числом, то любой отрицательный элемент х множества заведомо удовлетворяет неравенству

Поэтому нам достаточно доказать, что любой неотрицательный элемент х множества удовлетворяет неравенству

Предположим, что некоторый неотрицательный элемент не удовлетворяет неравенству Тогда и по правилу упорядочения найдется номер такой, что Но последние соотношения противоречат

тиворечат тому, что в качестве берется наибольший из десятичных знаков тех элементов которых целая часть и первые знаков после запятой соответственно равны

Полученное противоречие доказывает утверждение 1).

Докажем теперь утверждение 2). Пусть х — любое число, удовлетворяющее условию Требуется доказать, что существует хотя бы один элемент х множества удовлетворяющий неравенству

Если число х является отрицательным, то неравенству заведомо удовлетворяет неотрицательный элемент х множества (по предположению хотя бы один такой элемент существует).

Остается рассмотреть случай, когда число х, удовлетворяющее условию является неотрицательным. Пусть Из условия и из правила упорядочения вытекает, что найдется номер такой, что

С другой стороны, из построения числа (2.9) вытекает, что для любого номера найдется неотрицательный элемент множества такой, у которого целая часть и все первые знаков после запятой те же, что у числа х. Иными словами, для номера найдется элемент х такой, для которого

Сопоставляя (2.10) и (2.11), мы получим, что

а это и означает (в силу правила упорядочения), что Утверждение 2), а с ним и вся теорема для случая 1° доказаны.

2°. Аналогично доказывается существование точной верхней грани и во втором случае, когда все элементы х множества являются отрицательными числами.

В этом случае мы представим все элементы х отрицательными бесконечными десятичными дробями и обозначим через наименьшую из целых частей этих дробей, через — наименьший из первых десятичных знаков тех дробей, целая часть которых равна через — наименьший из вторых десятичных знаков тех дробей, целая часть и первый десятичный знак которых соответственно равны и т. д.

Таким образом мы определим неположительное число

В полной аналогии со случаем Г доказывается, что это число х является точной верхней гранью множества т. е. доказывается справедливость утверждений 1) и 2), сформулированных при рассмотрении случая Г. Теорема доказана.