Случай 
рассматривается аналогично. Отметим следующие свойства логарифмической функции, вытекающие из ее определения:
1) Логарифмическая функция определена для всех положительных значений х. В самом деле, аргумент логарифмической функции представляет собой значения показательной функции, которые, как мы знаем, только положительны и заполняют всю полупрямую 
2) Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на всей полупрямой 
при 
и непрерывна и убывает на всей полупрямой 
при 
причем
Справедливость этих свойств вытекает из свойств показательной функции.
3) Для любых положительных 
Это свойство также вытекает из свойств показательной функции. Замечание. Следует особо выделить логарифмическую
функцию 
где 
Для этой функции используется обозначение 
Логарифмы по основанию 
называются натуральными.
Рис. 4.3
Рис. 4.4
На рис. 4.3 и 4.4 изображены графики логарифмической функции 
для случаев 
— произвольный сегмент бесконечной прямой. На этом сегменте функция 
при 
возрастает и непрерывна. Поэтому в силу теоремы 4.5 функция 
имеет на сегменте 
возрастающую и непрерывную обратную функцию 
которая и называется логарифмической и обозначается так:
