3. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых множителей.

В дальнейшем нам придется иметь дело с многочленами от переменной, принимающей лишь вещественные значения. Поэтому эту переменную мы будем обозначать буквой х, а не z.

Пользуясь теоремой 8.3, найдем разложение многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей. Пусть многочлен имеет вещественные корни кратности соответственно и комплексно сопряженные пары корней кратности каждая пара соответственно.

Тогда, согласно результатам многочлен может быть представлен в виде

Обозначим вещественную и мнимую части корня соответственно через т. е. пусть Тогда Преобразуем для любого и выражение

где

Используя (8.33) в (8.32), окончательно получим следующее разложение многочлена на произведение вещественных неприводимых множителей:

Мы приходим к выводу, что многочлен с вещественными коэффициентами распадается на произведение (8.34) неприводимых вещественных множителей, причем множители, соответствующие вещественным корням, имеют вид двучленов в степенях, равных кратности корней, а множители, соответствующие комплексным парам корней, имеют вид квадратных трехчленов в степенях, равных кратности этих пар корней.