3. Особые точки поверхности в пространстве n измерений. Обратное отображение.

В п. 3 § 1 настоящей главы мы рассматривали понятия особой и обыкновенной точек поверхности в трехмерном пространстве Рассмотрим теперь обобщения этих понятий на случай пространства любого конечного числа измерений.

Пусть — отображение окрестности точки пространства в пространство дифференцируемое в точке Если в пространствах выбрать базисы, то отображение может быть записано в координатной форме

Рангом отображения в точке называется число, равное рангу матрицы

Обычно ранг отображения в точке обозначается символом . Ясно, что

Определение. Точка пространства называется особой (критической, сингулярной) точкой отображения некоторой окрестности этой точки в пространство если ранг этого отображения в точке меньше наименьшего из чисел т. е. если

Если в точке выполнено соотношение то точка называется обыкновенной или неособой для отображения

Пусть Рассмотрим соотношение где — числовая непрерывно дифференцируемая функция, Предположим, что точка не является особой для функции . Поскольку в этом случае матрица, определяющая ранг отображения, состоит из одной строки

то сформулированное выше условие того, что точка не является особой для отображения (т. е. условие означает, что хотя бы одна из частных производных в этой точке отлична от нуля. Пусть ради определенности . Поскольку то по теореме о неявном отображении переменную в окрестности точки можно выразить в виде функциональной зависимости

Таким образом, в окрестности неособой точки мы разрешили функциональную систему уравнений, состоящую из одного уравнения, зависящего от переменных,

Пусть теперь в некоторой окрестности точки пространства задано обращающееся в нуль в этой точке отображение указанной окрестности в пространство непрерывное в этой окрестности и обладающее в ней частными производными первого порядка по всем переменным, непрерывным в самой точке Тогда если точка не является особой, то т. е. найдется хотя бы один минор порядка отличный от нуля. Пусть это будет, например, минор Тогда по теореме о неявной функции уравнение т. е. система

разрешима в указанной окрестности точки относительно переменных т. е. существуют единственные функции

являющиеся решением системы функциональных уравнений эти функции будут непрерывны в некоторой окрестности точки и дифференцируемы в этой точке. (Если предположить, что частные производные - непрерывны и в некоторой окрестности точки то и функции будут дифференцируемы в некоторой окрестности точки см. сноску п. 2.)

Подчеркнем, что условие неравенства нулю якобиана

означает при принятых нами определениях, что отображение — фиксированная точка) имеет ранг в точке равный т. е. означает, что точка х является неособой для отображения выше

В качестве еще одного следствия теоремы о неявном отображении является следующая теорема об обратном отображении (об обратной функции) (см. также п. 4 § 1 настоящей главы). Теорема. Пусть — отображение открытой окрестности точки банахова пространства В в нормированное пространство Пусть отображение дифференцируемо в непрерывно в точке и оператор — обратимый.

Тогда найдутся окрестность точки и окрестность точки такие, что отображение -взаимно однозначно отображает на а обратное отображение непрерывно в и дифференцируемо в точке х причем

Для доказательства этой теоремы достаточно применить теорему о неявной функции (о неявном отображении) к отображению

определенному на множестве и принимающему значения в пространстве

Действительно, в этом случае для выполнены все условия теоремы непрерывно в точке — единичный оператор, поэтому определены в и непрерывны в точке наконец, обратимый оператор. Поэтому, применяя теорему о неявном отображении к отображению мы можем утверждать, что в некоторой окрестности точки существует функция которая непрерывна в этой окрестности справедливо соотношение функция дифференцируема в точке , причем

Отображение осуществляет взаимно однозначное отображение окрестности на и является обратным по отношению к отображению Если предположить, что отображение непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки то отображение будет диффеоморфизмом, т. е. будет взаимно однозначным и дифференцируемым отображением на

Геометрически это утверждение можно истолковать так: множество заданное как график отображения в некоторой окрестности точки из пространства можно изобразить как график отображения заданного в некоторой окрестности точки

В случае, если пространства В и совпадают с пространством теорема об обратном отображении утверждает, что если задано отображение или в координатной форме

функции дифференцируемы в окрестности точки и их частные производные непрерывны в якобиан точке отличен от нуля, то существуют окрестности точек соответственно, которые взаимно однозначно соответствуют друг другу при помощи отображения причем существует гомеоморфное отображение окрестности на окрестность обратное по отношению к дифференцируемое в точке и

(Если предположить, что отображение непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки то отображение будет диффеоморфизмом.)

Замечание. Условие обратимости отображения фигурирующее в теореме об обратном отображении (или в случае отображения пространства неравенство нулю якобиана является лишь достаточным условием для существования обратного отображения . Обратное отображение может существовать и в случае, когда это условие не выполнено. Например, если то в точке нуль якобиан равен нулю, но обратная функция существует. Однако, если в точке якобиан равен нулю, то обратная функция, если она и существует, не может быть дифференцируемой в соответствующей точке где