§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Из вводной главы и из гл. 4 нам уже извество, что простейшими элементарными функциями принято называть следующие функции: показательную функцию и логарифмическую функцию рассматриваемые для любого фиксированного значения а такого, что степенную функцию где а — фиксированное вещественное число, четыре тригонометрические функции и четыре обратные тригонометрические функции

В настоящем параграфе мы вычислим и систематизируем в таблицу производные всех простейших элементарных функций, уже выписанные нами в гл. 1.

1. Производные тригонометрических функций.

1°. Производная функции Так как для этой функции

то при любом разностное отношение имеет вид

По определению производной

В силу непрерывности функции в любой точке х бесконечной прямой

Далее, в силу первого замечательного предела и элементарной замены переменной

Из существования пределов (5.30) и (5.31) и из теоремы о пределе произведения двух функций вытекает существование предела в правой части (5.29) и равенство

Итак,

(для любой точки x бесконечной прямой).

2°. Производная функции Так как для любой точки х бесконечной прямой

то по правилу дифференцирования сложной функции и по формуле (5.32)

Итак,

(для любой точки х бесконечной прямой).

3°. Производная функции Так как то в силу правила дифференцирования частного и соотношений (5.32) и (5.33) в любой точке х, в которой

Итак,

любой точке где

4°. Производная функции Так как то в силу правила дифференцирования частного и соотношений (5.32) и (5.33) в любой точке х, в которой

Итак,

(в любой точке , где