4. Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов.
Формула Тейлора — Маклорена является мощным средством для вычисления тонких пределов.
Из установленного нами в п. 2 §9 разложения ряда элементарных функций вытекают асимптотические оценки этих функций, характеризующие их поведение в окрестности точки 
т. е. при малых значениях 
с точностью до членов любой степени 
малой величины х.
Беря в формулах Маклорена для функций 
остаточный член в форме Пеано, мы получим, что для любого номера 
справедливы следующие оценки:
Приведем примеры использования асимптотических оценок (6.81).
1°. Привлекая вторую из оценок (6.81), взятую при 
вычислим предел
Исходя из вида знаменателя, можно заключить, что определяющую роль должны играть члены четвертого порядка относительно 
Пользуясь (6.81), можно записать:
Значит, при 
получим
Из формул (6.82), (6.83) и (6.85) следует, что
(Здесь символом 
мы обозначили величину 
являющуюся бесконечно малой при 
Обозначим через у величину 
Тогда 
Прологарифмируем у (так как при малых х это выражение положительно):
Вычислим 
(кликните для просмотра скана)
