3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

Введем понятия абсолютной и условной сходимости

интегралов. Пусть интегрируема по любому сегменту

Определение 1. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится

Определение 2. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится.

Замечание. Положив в утверждении мы получим, что из абсолютной сходимости несобственного интеграла вытекает его сходимость.

Отметим, что утверждения 2 и 3 позволяют установить лишь абсолютную сходимость исследуемых несобственных интегралов.

Приведем еще один признак сходимости несобственного интеграла первого рода, пригодный для установления и условной сходимости этого интеграла.

Утверждение 4 (признак Дирихле — Пусть выполнены следующие три условия:

1) функция непрерывна на полупрямой и имеет этой полупрямой ограниченную первообразную

2) функция определена и монотонно не возрастает на полупрямой и имеет равный нулю предел при

3) производная функции существует и непрерывна в каждой точке полупрямой При выполнении этих трех условий несобственный интеграл

сходится.

Доказательство. Воспользуемся критерием Коши сходимости несобственных интегралов. Предварительно проведем

интегрирование по частям интеграла на произвольном сегменте полупрямой Получим

По условию теоремы ограничена: Так как не возрастает и стремится к нулю при то Таким образом, оценивая (9.1.7), получим

Так как интеграл в правой части этого неравенства равен то, очевидно,

Используя это неравенство, нетрудно завершить доказательство теоремы. Пусть — произвольное положительное число. Так как при то по данному можно выбрать В так, что при выполняется неравенство Отсюда и из неравенства (9.1.8) следует, что для любых больших В, выполняется неравенство которое, согласно критерию Коши, гарантирует сходимость интеграла (9.1.6). Утверждение доказано.

Замечание. Требование 3) в утверждении 4 является лишним и обусловлено лишь методом доказательства (желанием применить формулу интегрирования по частям). Для того чтобы доказать утверждение 4 без требования 3), достаточно применить для оценки интеграла вторую формулу среднего значения (см. свойство п. 2 § 4 гл. 9). Убедитесь в этом сами.

Пример 1. Рассмотрим интеграл

Полагая легко убедиться что для этого интеграла выполнены все условия утверждения 4. Поэтому интеграл (9.1.9) сходится.

Пример 2. Рассмотрим интеграл Френеля

Согласно п. 1 этого дополнения его сходимость вытекает из сходимости интеграла Полагая легко убедимся, что выполнены все условия утверждения 4. Поэтому интеграл Френеля сходится.