2. Формула Лагранжа конечных приращений.

При изучении дифференцируемых числовых функций важную роль играла формула Лагранжа конечных приращений. Выведем такую формулу в случае дифференцируемого отображения Пусть — открытое множество в содержащее точку и пусть множество точек целиком содержится в

Теорема. Пусть отображение, определенное на открытом множестве непрерывное на и имеющее сильную производную Г в каждой точке интервала Тогда

Доказательство. Рассмотрим сначала непрерывное отображение заданное на сегменте [0, 1] и отображающее его в пространство и непрерывную функцию заданную на сегменте [0, 1], принимающую числовые значения. Покажем, что если сильно дифференцируемы на интервале как отображение одного нормированного пространства, а именно интервала (0, 1), в другое нормированное пространство дифференцируема

как числовая функция, определенная на интервале и если

то

Из этой формулы утверждение теоремы уже будет следовать, легко.

Докажем эту формулу. При каждом фиксированном обозначим через множество точек сегмента ], в которых выполнено неравенство

Покажем, что при любом число 1 принадлежит множеству Тогда при получим доказываемую формулу.

В силу непрерывности отображения и функции множество замкнуто на сегменте [0, 1]. Действительно, если то в неравенстве

пользуясь непрерывностью функции нормы (или, что то же самое, непрерывностью функции расстояния): непрерывностью отображения и непрерывностью функции можно перейти к пределу при и заключить, что.

, а следовательно, множество замкнута

Множество непусто, лоскольку очевидно, выполнено при достаточно малых t (левая часть неравенства при малых t в силу непрерывности мала, а правая имеет положительный член в качестве слагаемого, который не зависит от I).

Пусть Поскольку множество замкнуто то . Покажем, что а не может быть меньше числа 1. Допустим противное, что . В силу дифференцируемости в точке а для достаточно малых положительных чисел будем иметь

(в данном случае поскольку — положительное число, а норма элемента сегмента [0, 1] совпадает с модулем числа

Далее,

поскольку функция на интервале (0, 1) не убывает. Это следует из того, что что, в свою очередь, следует из неравенства

Заметим теперь, что

для достаточно малых Поэтому

Поскольку

то

Мы видим, что а это противоречит выбору числа а, т. е. число а не может быть меньшим единицы. Следовательно, Формула доказана.

Завершим теперь доказательство теоремы. Положим

где

Отображение и функция удовлетворяют, очевидно, всем условиям вспомогательного утверждения, установленного нами выше. Поэтому, подставляя эти выражения для в формулу получаем формулу Лагранжа. Теорема доказана.

Следствие. Если — линейное непрерывное отображение нормированного пространства в нормированное пространство не зависящее от — отображение открытого множества в удовлетворяющее условиям теоремы, то

Действительно, применив теорему к отображению

получим

что и требовалось доказать.

Можно показать, что теорема и следствие из нее верны, если всюду вместо сильной производной рассматривать слабую производную