§ 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Мы будем говорить, что переменная у как функция аргумента х задана нам параметрически, если обе переменные и у заданы как функции некоторой третьей переменной

При этом указанную переменную t обычно называют параметром.

Мы, естественно, будем предполагать, что функции и имеют нужное число производных по параметру t в рассматриваемой области изменения этого параметра.

Кроме того, мы всегда будем считать, что функция в окрестности рассматриваемой точки имеет обратную функцию ибо это позволяет рассматривать у как функцию X.

Рассмотрим вопрос о вычислении производных функции по аргументу х.

В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала (см. п. 3 § 3) мы можем записать равенства:

Из этих равенств сразу же вытекает, что

Для вычисления второй производной достаточно заметить, что в силу свойства инвариантности формы первого дифференциала

Используя в правой части (5.56) соотношение (5.55) и третье равенство (5.54), получим

По такому же принципу вычисляются производные третьего последующих порядков. Так, для вычисления третьей производной достаточно представить эту производную в виде

и воспользоваться соотношением (5.57) и третьим равенством, (5.54).

В качестве примера вычислим первую и вторую производные следующей функции, заданной параметрически:

Кривая, являющаяся графиком этой функции, называется циклоидой. Эта кривая представляет собой траекторию некоторой фиксированной точки окружности радиуса а, которая катится без скольжения по прямой линии (параметр t равен углу поворота радиуса этой окружности).

Пользуясь формулами (5.55) и (5.57), получим