2. Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов.

Аналогом теоремы Больцано — Вейерштрасса для неограниченной последовательности является следующее утверждение.

Лемма 2. Из всякой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность (и, в частности, бесконечно, большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определенный знак).

Доказательство. Прежде всего заметим, что если у неограниченной последовательности отбросить любое конечное число первых ее элементов, то после такого отбрасывания получится снова неограниченная последовательность. Пусть -произвольная неограниченная последовательность. Тогда найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству Учитывая, что последовательность рассматриваемая с номера также является неограниченной, мы получим, что найдется элемент этой последовательности удовлетворяющий неравенству при Продолжая эти рассуждения далее, мы получим, что для любого номера найдется элемент удовлетворяющий неравенству при

Очевидно, что построенная нами подпоследовательность является бесконечно большой. Замечая, что эта подпоследовательность заведомо содержит бесконечно много либо положительных, либо отрицательных членов, мы может выделить из нее бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определенный знак. Лемма доказана.

Из леммы 2 и из теоремы Больцано — Вейерштрасса вытекает следующее утверждение.

Лемма 3. Из совершенно произвольной последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определенный знак.

Лемма 3 естественно приводит к идее расширения понятия предельной точки последовательности. Договоримся формально дополнить введенные выше конечные предельные точки последовательности еще двумя возможными предельными точками

Будем говорить, что является предельной точкой последовательности если из этой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой положительны [отрицательны].

При таком расширении понятия предельной точки из леммы 3 вытекает следующее утверждение: у совершенно произвольной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.

Естественно, считая, что связаны с любым конечным вещественным числом х соотношением убедимся в том, что у совершенно произвольной последовательности существуют верхний и нижний пределы (т. е. существуют наибольшая и наименьшая предельные точки).

Ради определенности остановимся на доказательстве существования верхнего предела.

В силу теоремы 3.16 достаточно рассмотреть лишь случай, когда последовательность не является ограниченной.

Если при этом последовательность не является ограниченной сверху, то из нее можно выделить бесконечно большую последовательность, все элементы которой положительны, и поэтому является предельной точкой, а значит, и верхним пределом последовательности

Остается рассмотреть случай, когда неограниченная последовательность является ограниченной сверху, т. е. когда существует вещественное число М такое, что все элементы последовательности удовлетворяют неравенству Так как при этом последовательность не является ограниченной снизу, то из нее можно выделить бесконечно большую подпоследовательность,

все элементы которой отрицательны, т. е. является предель ной точкой такой последовательности.

Если при этом указанная последовательность не имеет ни одной конечной предельной точки, то единственная предельная точка — и является верхним пределом этой последовательности.

Если же при этом у указанной последовательности есть хотя бы одна конечная предельная точка то, фиксировав некоторое мы выделим из этой последовательности подпоследовательность тех ее элементов которые удовлетворяют неравенствам

Выделенная подпоследовательность ограничена, и по теореме 3.16 у нее существует наибольшая предельная точка, которая является наибольшей предельной точкой (т. е. верхним пределом) и всей последовательности Существование у совершенно произвольной последовательности верхнего предела доказано. Аналогично доказывается, что у совершенно произвольной последовательности существует нижний предел.

В заключение заметим, что почти все понятия и утверждения, установленные нами в этом и в предыдущем пунктах, переносятся на случай произвольного числового множества имеющего бесконечное число элементов.

Точку а бесконечной прямой назовем предельной точкой такого множества, если в любой -окрестности точки а содержится бесконечно много элементов этого множества.

Наибольшую и наименьшую предельные точки множества назовем соответственно в и нижней предельными точками этого множества.

Повторяя рассуждения теоремы 3.16 с заменой термина «последовательность термином «множество содержащее бесконечное число элементов», мы придем к следующему утверждению: у всякого ограниченного множества имеющего бесконечное число элементов, существуют верхняя и нижняя предельные точки (и, в частности, существует хотя бы одна предельная точка).

Из этого утверждения вытекает следующее обобщение теоремы Больцано — Вейерштрасса: из элементов всякого ограниченного множества имеющего бесконечное число элементов, можно выделить схооящуюся подпоследовательность.

Как и для случая последовательности, удобно расширить понятие предельной точки и считать, что является предельной точкой множества если из элементов этого

множества можно выделить бесконечно большую последовательность, состоящую из положительных [отрицательных] чисел.

Эта формализация позволяет нам утверждать, что у совершенно произвольного числового множества имеющего бесконечное число элементов, существуют хотя бы одна предельная точка, а также верхняя и нижняя предельные точки.