§ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Вводные замечания.

При решении ряда актуальных физических и технических задач встречаются определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определенными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являются элементарными. Это приводит к

необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов

В этом параграфе мы познакомимся с тремя наиболее употребительными приближенными методами вычисления определенных интегралов: методом прямоугольников, методой трапеций и методом парабол.

Основная идея этих методов заключается в замене подынтегральной функции функцией более простой природы — многочленом, совпадающим с в некоторых точках. Для уяснения этой идеи рассмотрим при малых с интеграл представляющий собой площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции на сегменте (рис. 11.10).

Заменим функцию многочленом нулевого порядка, а именно константой При этом интеграл приближенно заменится площадью прямоугольника, заштрихованного на рис. 11.11. Ниже мы покажем, что при определенных требованиях на ошибка, совершаемая при такой замене имеет порядок

Заменим, далее, функцию многочленом первого порядка, а именно линейной функцией совпадающей с в точках —с и с. При этом интеграл приближенно заменится

Рис. 11.10

Рис. 11.11

Рис. 11.12

площадью прямоугольной трапеции, заштрихованной на рис. 11.12. Ниже мы покажем, что ошибка, совершаемая при., такой замене, также имеет порядок

Заменим, наконец, функцию многочленом второго порядка, т. е. параболой , совпадающей с в точках —с, 0 и с. При этом интеграл приближенно заменится площадью, лежащей под параболой фигуры, заштрихованной на рис. 11.13. Ниже мы покажем, что при определенных требованиях на функцию ошибка, совершаемая при такой замене, имеет порядок

Рис. 11.13

Если потребуется вычислить интеграл по любому сегменту естественно разбить этот сегмент на достаточно большое число малых сегментов и к каждому из этих сегментов применить изложенные выше рассуждения. При этом мы и придем к методам прямоугольников, трапеций и парабол в их общем виде. Для того чтобы оценить ошибку, возникающую при применении методов прямоугольников, трапеций и парабол, мы подойдем к изложению этих методов с другой точки зрения.

Прежде всего введем понятие усреднения чисел.

Пусть — какие угодно положительные числа. Любое число с вида

назовем усреднением чисел

Очевидно, что если все числа заключены между числами и то и любое усреднение с этих чисел удовлетворяет неравенствам

Предположим далее, что функция непрерывна на сегменте и все значения лежат на этом сегменте. Тогда, какое бы усреднение чисел мы ни взяли, на сегменте найдется точка такая, что это усреднение равно значению в точке . В самом деле, так как функция непрерывна на сегменте то все значения этой функции на указанном сегменте заключены между ее наибольшим значением М и наименьшим значением т. Значит, и любое усреднение с чисел заключено между . Но, каково бы ни было это промежуточное значение с, согласно теореме 4.12 на сегменте найдется точка такая, что

Таким образом, для непрерывной на сегменте функции формулу (11.13) можно переписать в виде

или в виде

С другой стороны, для непрерывной на сегменте функции, согласно п. 2 § 4 гл. 9, найдется точка из сегмента такая, что справедлива формула среднего значения

Сопоставление формул (11.15) и (11.16) позволяет сделать предположение о том, что при некотором разумном выборе чисел и точек вычисление интеграла можно с большой точностью заменить вычислением суммы, стоящей в левой части формулы (11.15). Именно на этой идее разумного выбора чисел и точек и основаны приближенные методы вычисления интеграла. Переходим к изложению этих методов.