2. Метод итераций.

Излагаемый в этом пункте метод лежит в основе многих других приближенных методов. Этот метод применяется для решения уравнения

Введем понятие итерационной последовательности.

Последовательность будем называть итерационной, если для любого элемент выражается через элемент по рекуррентной формуле а в качестве взято любое число из области задания функции

Мы докажем, что при определенных условиях итерационная последовательность сходится к корню уравнения (11.1) и, значит, ее элементы могут быть взяты за приближенные значения этого корня.

Справедливо следующее.

Утверждение 1. Пусть функция непрерывна на сегменте и пусть все элементы итерационной последовательности лежат на этом сегменте. Тогда, если эта последовательность сходится к некоторому числу с, то указанное число с является корнем уравнения (11.1).

Доказательство. Так как последовательность сходится к с и все ее элементы принадлежат сегменту то и предел с принадлежит сегменту (см. следствие 2 из теоремы 3.13). По условию функция непрерывна в точке с, и поэтому последовательность сходится к Таким образом, равенство в пределе при переходит в равенство т. е. с является корнем уравнения Доказанное утверждение будет существенно использовано нами в для обоснования метода хорд и касательных.

Докажем еще одно утверждение, часто используемое для приближенного вычисления корня уравнения (11.1) с помощью итерационной последовательности.

Утверждение 2. Пусть с — корень уравнения (11.1), и пусть в некотором симметричном относительно точки с сегменте производная функции удовлетворяет условию . Тогда итерационная последовательность которой в качестве взято любое число из сегмента сходится к указанному корню с.

Доказательство. Прежде всего докажем, что все элементы итерационной последовательности принадлежат указанному сегменту . В самом деле, принадлежит этому сегменту по условию. Поэтому достаточно, предположив, что принадлежит этому сегменту, доказать, что ему принадлежит и Для эуого применим формулу Лагранжа к разности и учтем, что Получим

где I — некоторая точка, лежащая между и, значит, принадлежащая сегменту Так как то из равенства (11.2) получим

Из (11.3), поскольку в свою очередь, получим

Неравенство (11.4) устанавливает, что каждый последующий элемент расположен к с ближе, чем предыдущий элемент и, значит, так как принадлежит сегменту и так как этот сегмент симметричен относительно точки с, то и принадлеокит этому сегменту. Остается доказать, что последовательность сходится к с. Поскольку неравенство (11.3) справедливо для всех номеров то с помощью этого неравенства получим

Из последнего неравенства очевидно, что ибо Утверждение 2 доказано.

Сделаем практические замечания относительно только что доказанного утверждения. Предположим, что путем предварительной прикидки мы установили, что интересующий нас корень уравнения (11.1) изолирован на некотором сегменте на котором производная функции удовлетворяет условию Так как сегмент вообще говоря, не является симметричным относительно искомого корня, то, естественно, возникает вопрос о том, как выбрать нулевое приближение с тем, чтобы можно было применить доказанное выше утверждение 2.

Заметим, что где бы внутри сегмента ни находился искомый корень с, хотя бы один из двух симметричных относительно с сегментов (рис. 11.1) целиком принадлежит сегменту Поэтому хотя бы одна из точек а или принадлежит симметричному относительно корня с сегменту, всюду на котором

Рис. 11.1

Значит, по крайней мере одну из точек а или можно, согласно доказанному выше утверждению 2 выбрать за Конкретно за следует выбрать ту из двух точек а или для которой приближение не выходит за пределы сегмента

На практике чаще всего встречается случай, когда производная имеет на сегменте определенный знак. Если этот знак положителен, то из формулы (11.2) следует, что последовательность монотонна. Этот случай приводит к так называемой ступенчатой диаграмме, изображенной на рис. 11.2. Если же производная отрицательна на сегменте то из той же формулы (11.2) видно, что любые два последовательных элемента и лежат по разные стороны от корня с.

Рис. 11.2

Рис. 11.3

Этот случай приводит к так называемой спиралеобразной диаграмме, изображенной на рис. 11.3.

Замечание. Возникает вопрос об оценке погрешности метода итераций, т. е. об оценке отклонения приближения от точного значения корня с. Из формулы (11.5) непосредственно вытекает следующая оценка:

где а — точная верхняя грань функции на сегменте на котором изолирован рассматриваемый корень.

Если производная отрицательна на сегменте то, как указано выше, лежат по разные стороны от корня с, и поэтому справедлива следующая оценка:

Если же в рассматриваемом случае взять за приближенное значение корня полусумму двух последовательных приближений

то получим следующую оценку погрешности: