3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в интегральной форме.

Договоримся обозначать дифференциал функции переменных в точке М пространства символом

Докажем следующую важную теорему.

Теорема 12.15. Пусть — целое число, функция задана в некоторой -окрестности точки раз дифференцируема в указанной окрестности. Тогда полное приращение этой функции, в точке М может быть представлено в следующей форме

при этом — некоторая точка указанной окрестности зависящая, вообще говоря, от а дифференциалы переменных входящие в выражения равны Формула (12.50) называется формулой Тейлора для функции с центром разложения в а последний член формулы (12.50) называется остаточным членом, записанным в форме Лагранжа.

Доказательство. Для сокращения записи проведем рассуждения для функции двух переменных х и у. Предварительно запишем в специальной форме формулу Тейлора для раз дифференцируемой в некоторой окрестности точки -функции одной переменной Напомним, что формула

Тейлора с центром разложения в для функции одной переменной имеет следующий вид:

Так как аргумент t является независимой переменной, то приращение представляет собой дифференциал независимой переменной Поэтому

Если мы обозначим разность через то согласно (12.52) формулу Тейлора (12.51) можно записать в следующей специальной форме:

и

Рассмотрим теперь в -окрестности точки произвольную точку и соединим точки а М прямой линией. Очевидно, координаты х и у точек указанной прямой представляют собой следующие линейные функции новой переменной

при этом координаты точек отрезка соответствуют значениям переменной t из сегмента [0, 1]. Отметим, что значению отвечает точка а значению — точка М. Так как по условию функция двух переменных раз дифференцируема в рассматриваемой окрестности точки то из формул (12.54) вытекает, что на прямой эта функция является сложной функцией переменной t из сегмента [0, 1]. Обозначим эту сложную функцию через и запишем для нее формулу Тейлора с центром разложения в точке в специальной форме

Фигурирующие в формуле (12.53) дифференциалы различных порядков представляют собой дифференциалы сложной функции где х и у являются линейными функциями (12.54). Согласно замечанию 2 предыдущего пункта при этих условиях дифференциалы любого порядка функции могут быть записаны в форме (12.47). Поэтому

причем в формулах находятся из соотношений: (12.54) при Таким образом, в формулах (12.55)

Подставляя из (12.55) в формулу (12.53) и учитывая соотношения (12.56), мы получим формулу Тейлорал (12.50).

Приведем развернутое выражение формулы Тейлора (12.50) для функции

Следствие. Если функция удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 12.15, и, сверх того, все частные производные этой функции порядка непрерывны в рассматриваемой -окрестности точки то остаточный член т. е. последний член в формулах (12.50) и (12.57), может быть записан в виде

Такую форму остаточного члена естественно назвать интегральной. Для получения формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме следует записать в интегральной форме остаточный член в формуле Тейлора для функции одной переменной рассмотренной при доказательстве теоремы 12.15, т. е. воспользоваться результатами § 4 гл. 9. В рассматриваемом

случае указанный остаточный член имеет вид

Это и приводит нас к написанному выше выражению остаточно го члена для функции