2. Площадь плоской фигуры.

Для введения понятия площади плоской фигуры будем отправляться от специального частного вида плоских фигур, так называемых многоугольных фигур.

Многоугольной фиг на плоскости мы назовем множество, составленное из конечного числа лежащих на этой плоскости ограниченных многоугольников.

Из курса средней школы известно понятие площади многоугольной фигуры.

В дальнейшем мы будем обозначать символом площадь многоугольной фигуры Р.

Напомним, что площадь многоугольной фигуры является неотрицательным числом, обладающим следующими тремя свойствами:

1° (Аддитивность). Если — две многоугольные фигуры без общих внутренних точек и символ означает объединение этих фигур, то

2° (Инвариантность). Если многоугольные фигуры равны между собой то

3° (Монотонность). Если многоугольная фигура содержится в многоугольной фигуре то

Заметим, что свойство монотонности является логическим следствием свойства аддитивности и свойства неотрицательности площади. В самом деле, если содержится в то а потому в силу того, что не содержат общих внутренних точек, и в силу свойства аддитивности Остается заметить, что

Замечание. Полезно подчеркнуть, что площадь многоугольной фигуры естественно считать равной одному и тому же числу независимо от того, с границей или без границы рассматривается эта многоугольная фигура. При рассмотрении разности двух многоугольных фигур можно договориться считать

фигуру взятой с границей, а фигуру взятой без границы. При такой договоренности разность будет представлять собой некоторую многоугольную фигуру, взятую с границей.

Перейдем теперь к определению площади некоторой произвольной плоской фигуры (т. е. некоторого произвольного ограниченного множества точек плоскости).

Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие Фигуры Р будем называть вписанными, а фигуры Q — описанными. Числовое множество площадей всех вписанных многоугольных фигур Р ограничено сверху (например, площадью любой описанной многоугольной фигуры Числовое множество площадей всех описанных вокруг фигуры Q многоугольных фигур Q ограничено снизу (например, нулем). Поэтому существуют точная верхняя грань.

площадей всех многоугольных фигур, вписанных в фигуру и и точная нижняя грань

площадей всех многоугольных фигур, описанных вокруг

Заметим, что если в фигуру нельзя вписать ни одного многоугольника, то по определению полагается

Величину называют нижней площадью фигуры а — верхней площадью этой фигуры. Из того, что площадь любой вписанной фигуры не больше, чем площадь любой описанной фигуры, следует, что

Определение 1. Плоская фигура называется квадрируемой (или имеющей площадь), если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью При этом число называется площадью фигуры

Ясно, что всякая многоугольная фигура является квадрируемой в смысле данного нами определения и для нее площадь являющаяся точной нижней гранью площадей описанных многоугольных фигур и точной верхней гранью площадей вписанных фигур, совпадает с исходной величиной ллощади, заимствованной из элементарного курса.

Таким образом, мы распространили понятие площади многоугольников на некоторый более широкий класс фигур.

Сохранение свойств аддитивности, инвариантности и монотонности будет доказано ниже.

Начнем с доказательства следующего критерия квадрируемости плоской фигуры.

Теорема 10.2. Для квадрируемости плоской фигуры необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись такая описанная вокруг многоугольника фигура Q и такая вписанная в многоугольная фигура Р, для которых

Доказательства. Необходимость. Пусть фигура квадрируема, т. е. По определению точных граней (10.24) и (10.25) для любого фиксированного нами найдутся вписанная многоугольная фигура Р и описанная многоугольная фигура Q такие, что

Из этих неравенств и из равенств заключаем, что Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть для любого существуют многоугольные фигуры Q и Р, указанные в формулировке теоремы. Тогда из неравенства (10.26) и из соотношений

получаем, что

Поскольку — произвольное положительное число, то из условия вытекает, что т. е. доказано, что фигура квадрируема. Теорема доказана.

Теорема 10.2 допускает простое, но важное обобщение: в ее формулировке вместо описанной и вписанной многоугольных фигур Q и Р можно взять произвольные описанную и вписанную квадрируемые плоские фигуры Q и Р. Именно справедлива теорема.

Теорема 10.2. Для квадрируемости плоской фигуры необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись такие содержащая квадрируемая плоская фигура Q и такая содержащаяся в квадрируемая плоская фигура Р, для которых

Необходимость доказательства не требует, ибо многоугольные фигуры Q и Р являются квадрируемыми.

Докажем достаточность.

Фиксируем произвольное и построим по нему квадрируемые плоские фигуры Q и Р, первая из которых содержит а вторая содержится в такие, что

Так как Q и Р — квадрируемые плоские фигуры, то найдется многоугольная фигура (5, содержащая Q, и многоугольная фигура Р, содержащаяся в Р, такие, что

Из двух последних неравенств и из (10.26) вытекает, что Но тогда, поскольку многоугольная фигура содержит а многоугольная фигура Р содержится в фигура квадрируема в силу теоремы 10.2.

Установим теперь еще одну эквивалентную формулировку теоремы 10.2.

Пусть — произвольная плоская фигура, Q — многоугольная фигура, взятая вместе с границей и содержащая фигуру многоугольная фигура, содержащаяся в фигуре и взятая без границы. Тогда разность представляет собой многоугольную фигуру, взятую вместе с границей и содержащую все точки фигуры

В силу свойства аддитивности площади многоугольной фигуры справедливо равенство из которого следует, что неравенство (10.26) в формулировке теоремы 10.2 может быть переписано в виде

Договоримся о следующей терминологии.

Определение 2. Множество точек плоскости назовем множеством площади нуль, если оно содержится в многоугольной фигуре сколь угодно малой площади.

Неравенство и тот факт, что многоугольная фигура содержит все точки границы плоской фигуры дают нам право следующим образом переформулировать теорему 10.2.

Теорема Плоская фигура квадрируема тогда и только тогда, когда ее граница имеет площадь нуль. Необходимость условия теоремы очевидна.

Остановимся на доказательстве достаточности.

Впишем плоскую фигуру в квадрат Е со сторонами, параллельными координатным осям, и прямыми, параллельными этим осям, разобьем квадрат на элементарные квадраты со стороной Это разбиение квадрата Е договоримся называть сеткой с шагом

Докажем сначала, что если граница фигуры содержится в многоугольной фигуре площади, меньшей то при достаточно

точно малом шаге сетки граница фигуры содержится в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше .

В самом деле, достаточно заметить, что любая многоугольная фигура, площади меньшей представляет собой сумму конечного числа треугольников, не имеющих общих внутренних точек; каждый треугольник равен объединению двух прямоугольных треугольников (без общих внутренних точек); каждый прямоугольный треугольник содержится во вдвое большем по площади прямоугольнике; каждый прямоугольник содержится в объединении не более чем вдвое большей по площади сумме конечного числа квадратов; каждый квадрат содержится во вдвое большем по площади квадрате со сторонами, параллельными осям координат.

Итак, любая многоугольная фигура площади, меньшей содержится в объединении конечного числа квадратов со сторонами, параллельными координатным осям общей площади, меньшей .

Из указанного конечного числа квадратов выберем квадрат с наименьшей стороной (если таких квадратов несколько, то выберем один из них) и возьмем шаг сетки равным половине длины стороны этого квадрата.

При таком выборе каждый указанный квадрат (со сторонами, параллельными координатным осям) будет содержаться в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых не больше учетверенной площади квадрата.

Поэтому вся многоугольная фигура, площади меньшей содержится в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше .

Значит, если граница плоской фигуры имеет площадь нуль, то для любого при указанном выше выборе шага сетки вся эта граница будет содержаться в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше .

Для завершения доказательства достаточности заметим, что объединение всех элементарных квадратов, состоящих только из внутренних точек фигуры представляет собой многоугольную фигуру Р, содержащуюся в а объединение этой фигуры Р со всеми элементарными квадратами сетки, содержащими точки границы фигуры представляет собой многоугольную фигуру Q, содержащую фигуру причем .

Пользуясь этой теоремой, установим квадрируемость широкого класса плоских фигур.

Докажем следующую лемму.

Лемма. Всякая спрямляемая кривая имеет площадь нуль.

Доказательство. Пусть — спрймляемая кривая, а ее длина. Разобьем эту кривую с помощью точек на части, длина каждой из которых равна . (Возможность такого разбиения не вызывает сомнений.) Примем каждую из этих точек за центр квадрата со стороной Сумма этих квадратов представляет собой многоугольную фигуру, описанную вокруг кривой а площадь этой многоугольной фигуры не превосходит суммы площадей составляющих квадратов, т. е. числа Так как фиксировано, а можно выбирать произвольно большим, то число может быть сделано меньшим любого наперед заданного числа Следовательно, кривую действительно можно заключить внутрь многоугольной фигуры сколь угодно малой площади.

Лемма доказана.

Из этой леммы и теоремы 10.2" вытекает следующая теорема.

Теорема 10.3. Всякая плоская фигура, граница которой состоит из одной или нескольких спрямляемых кривых, квадрируема.

Покажем теперь, что введенное нами понятие площади плоской фигуры обладает свойствами аддитивности (см, (10.22)), инвариантности (см. и монотонности. Убедимся сначала в аддитивности площади.

Пусть — квадрируемые фигуры без общих внутренних точек и — их объединение. Тогда квадрируема

Квадритируемость фигуры следует из теоремы 10.2 и из того, что ее граница составлена из множества площади нуль, поскольку является частью объединения границ фигур (Очевидно, что всякая часть множества площади нуль сама является множеством площади нуль.)

Докажем справедливость равенства (10.27). Рассмотрим многоугольные фигуры Р и вписанные в соответственно, и многоугольные фигуры описанные соответственно вокруг Фигуры составляют фигуру Р и не имеют общих внутренних точек. Поэтому, согласно (10.22),

Многоугольные фигуры возможно, пересекающиеся, в сумме составляют многоугольную фигуру Q, площадь которой не превосходит Поэтому

С другой стороны, в силу определения квадрируемости, для фигур и справедливы неравенства из которых следует, что

Таким образом, обе величины заключены между двумя числами разность между которыми

может быть сделана как угодно малой.

Следовательно, указанные две величины равны, т. е. справедливо равенство (10.27).

Свойство инвариантности площади произвольной плоской фигуры непосредственно вытекает из инвариантности площади для многоугольных фигур (см. и из самого способа определения площади квадрируемой фигуры через площади многоугольных фигур.

Наконец, свойство монотонности площади непосредственно вытекает из определения квадрируемости плоской фигуры.

Замечание. Пересечение двух квадрируемых фигур, есть квадрируемая фигура.

Действительно, пусть квадрируемы. Каждая точка, граничная для является граничной либо для либо для Поэтому наше утверждение следует из теоремы 10.2" и того факта, что объединение двух множеств площади нуль само имеет площадь нуль.

Введенное в этом пункте понятие площади называют понятием площади по Жордану или мерой Жордана.

Выше мы убедились, что площадь по Жордану обладает свойством аддитивности, т. е. если — квадрируемые фигуры без общих точек, то квадрируема и Указанное свойство, очевидно, справедливо и для объединения любого конечного числа квадрируемых фигур без общих внутренних точек. Если

то квадрируема и (свойство конечной аддитивности).

Однако площадь по Жордану (мера Жордана) не обладает свойством счетной аддитивности, т. е. объединение счетной совокупности квадрируемых фигур без общих внутренних точек не обязано быть квадрируемой фигурой.

Проиллюстрируем этот факт примером. Рассмотрим на плоскости квадрат Отметим в квадрате D точки, у которых обе координаты рациональны. Нетрудно показать, что таких точек счетное множество. Расположим их в виде последовательности

Фиксируем число и построим круг с центром в точке радиуса целиком содержащийся в квадрате

Первую из точек не попавшую в круг обозначим через и построим круг с центром в точке радиуса не пересекающийся с кругом и целиком лежащий в квадрате

Продолжая эти рассуждения далее, мы построим последовательность содержащихся в квадрате D непересекающихся кругов радиусов

Каждый из этих кругов квадрируем и имеет площадь (меру Жордана), равную

Убедимся в том, что объединение счетного числа указанных кругов представляет собой фигуру, не квадрируемую по Жордану. Пусть Q — любая многоугольная фигура, содержащая фигуру Заметим, что в любой -окрестности каждой точки квадрата D есть точки последовательности т. е. есть точки фигуры Но это означает, что любая точка квадрата D является внутренней либо граничной точкой фигуры т. е. многоугольная фигура Q содержи? весь квадрат D и, значит,

Пусть, далее, Р — любая многоугольная фигура, содержащаяся в Тогда площадь не превосходит сумму площадей всех кругов т. е.

Итак, для любой многоугольной фигуры Q, содержащей и любой многоугольной фигуры

содержащейся в Но это и означает, что при малом разность больше не может быть сделана как угодно малой, т. е. фигура не квадрируема по Жордану.

Отметим, что можно ввести другое обобщение понятия площади, так называемую меру Лебега, которая уже будет обладать и свойством счетной аддитивности. Такое обобщение понятия площади выходит за рамки приложений интеграла Римана и его естественно рассматривать при изучении так называемого интеграла Лебега.