2. Аксиоматическое введение множества вещественных чисел.

Для введения вещественных чисел мы использовали множество бесконечных десятичных дробей. Определив для множества этих дробей правило упорядочения и операции сложения и умножения,

мы установили, что элементы этого множества обладают 16 основными свойствами и, кроме того, свойством полноты относительно 16 основных свойств.

Описанный способ введения вещественных чисел, хотя и обладает несомненными эвристическими и методическими достоинствами, не является единственно возможным и целесообразным с научной точки зрения. Для окончательного оформления и полного логического завершения наших представлений о вещественных числах более предпочтительным является аксиоматический метод введения этих чисел.

Этот метод заключается в следующем.

Множество вещественных чисел вводится как совокупность объектов, удовлетворяющих 17 аксиомам, в качестве которых берутся 16 основных свойств и аксиома о полноте относительно

16 указанных свойств. Впредь мы будем называть упомянутые

17 аксиом аксиомами вещественного числа. Конкретной реализацией совокупности объектов, удовлетворяющих 17 аксиомам вещественного числа, и является изученное нами выше множество бесконечных десятичных дробей. Возможны и другие реализации указанной совокупности объектов.

Имеет место следующее замечательное утверждение:

Любая реализация совокупности объектов удовлетворяющих 17 аксиомам вещественного числа, изоморфна изученному выше множеству бесконечных десятичных дробей.

Доказательство этого утверждения можно найти в книге В. А. Ильина и Э. Г. Позняка: «Основы математического анализа», ч. 1 (М., Наука, 1982, с. 608—612), а также в книге В. А. Ильина, В. А. Садовничего и Бл. X. Сендова «Математический анализ» (М., Наука, 1979, с. 65—69).

Подчеркнем, что аксиоматический метод и понятие изоморфных (в различных смыслах) совокупностей объектов широко используются в разнообразных разделах современной математики и физики (при построении геометрии, теории вероятностей, классической механики, статистической физики, квантовой механики и др. разделов).

В заключение заметим, что в геометрии множество точек прямой вводится как совокупность объектов, удовлетворяющих некоторым аксиомам, среди которых фундаментальную роль играет аксиома о полноте этой совокупности относительно остальных аксиом. Упомянутые аксиомы позволяют установить

взаимно однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством всех вещественных чисел Это соответствие позволяет изображать вещественные числа точками на прямой (числовой оси), чем мы будем широко пользоваться в иллюстративных целях.