2. Классы интегрируемых функций.

Выше в § 1 настоящей главы мы видели, что функция постоянная на сегменте интегрируема по Риману на этом сегменте, а также что интегрируемые на данном сегменте функции обязаны быть ограниченными на этом сегменте. Естественно, возникает вопрос об описании классов функций, интегрируемых по Риману на сегменте . Среди этих классов важную роль играет класс непрерывных на сегменте функций. Докажем следующую фундаментальную теорему.

Теорема 9.1. Непрерывные на сегменте функции интегрируемы на этом сегменте по Риману.

Доказательство. Пусть непрерывна на сегменте Выберем произвольное число . Поскольку функция будучи непрерывной на сегменте, является равномерно непрерывной на нем, то для любого данного существует такое число что если — любые две точки сегмента для которых то Отсюда следует, что разность между точными верхней и нижней гранями на любом сегменте, имеющем длину, меньшую будет меньше числа Выберем теперь разбиение сегмента с диаметром меньшим указанного числа Пусть

По определению верхней и нижней сумм

Используя в этом соотношении установленное для выбранного нами разбиения неравенство утверждающее, что разность между точными гранями на любом частичном сегменте меньше мы получим, что для выбранного разбиения

По основной теореме заключаем, что функция интегрируема на Теорема доказана.

Следующая теорема дает достаточное условие интегрируемости некоторого класса разрывных функций.

Условимся говорить, что точка х покрыта интервалом, если она содержится в указанном интервале.

Докажем следующую теорему.

Теорема 9.2. Пусть функция определена и ограничена на сегменте Если для любого числа можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин, меньшую то функция интегрируема по Риману на сегменте

Доказательство. Пусть — точные верхняя и нижняя грани функции на сегменте Заметим, что если т. е. функция постоянна, то, как мы уже доказали в § 1, она интегрируема. Поэтому будем считать, что . Пусть — произвольное число. Покроем точки разрыва функции конечным числом интервалов, сумма длин которых не превосходит числа Точки сегмента не принадлежащие указанным интервалам, очевидно, образуют множество, состоящее из конечного числа непересекающихся сегментов. Назовем эти сегменты дополнительными. На каждом из таких сегментов функция непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна. Значит, существуют такие числа что если то для всех и принадлежащих дополнительному сегменту.

Пусть . Тогда если взять разбиения дополнительных сегментов на частичные сегменты так, чтобы диаметр каждого из. частичных сегментов не превосходил то разность между точными верхней гранью и нижней гранью т. функции на частичном сегменте будет не больше Объединяя все разбиения дополнительных сегментов и указанные выше интервалы с присоединенными к ним концами, мы получим разбиение всего сегмента Для так построенного общего разбиения

где в сумму с одним штрихом отнесены слагаемые, отвечающие частичным сегментам, образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва, а в сумму с двумя штрихами — все остальные. Рассмотрим первое слагаемое правой части записанного выше

равенства. Поскольку для любого то

Далее, в силу сказанного выше, из свойства равномерной непрерывности функции на дополнительных сегментах получаем, что

Таким образом, нами указано разбиение для которого По основной теореме получаем, что функция интегрируема. Теорема доказана.

Следствие. Ограниченная на сегменте функция имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на этом сегменте. В частности, кусочно непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Действительно, в условии предыдущей теоремы достаточно выбрать интервалы, покрывающие точки разрыва, одинаковой длины, меньшей чем , где — число точек разрыва функции

Замечание. Пусть функция интегрируема на сегменте а функция совпадает с функцией во всех точках сегмента кроме, бытьможет, конечного числа точек. Тогда функция интегрируема на сегменте и

Указание. Использовать схему доказательства следствия. Теорема 9.3. Монотонная на сегменте функция интегрируема по Риману на этом сегменте.

Доказательство. Случай, когда функция постоянна на сегменте можно исключить. Рассмотрим, например, неубывающую на сегменте функцию Пусть — произвольное число. Выберем разбиение сегмента с диаметром Заметим, что поскольку не постоянна, то Оценим разность — верхняя и нижняя грани на Получим Но для неубывающей функции Поэтому и функция

интегрируема. Для невозрастающей функции рассуждения - аналогичны. Теорема доказана.

Докажем сейчас теорему об интегрируемости суперпозиции двух функций.

Теорема 9.4. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте — ее точные верхняя и нижняя грани на Пусть, далее, функция определена на сегменте и удовлетворяет условию существует неотрицательное число С такое, что для любых из сегмента выполняется неравенство

тогда сложная функция интегрируема по Риману на сегменте

Доказательство. Пусть — произвольное положительное число. В силу интегрируемости функции на сегменте найдется такое разбиение этого сегмента, что где — верхняя и нижняя суммы функции соответственно, С — постоянная из условий теоремы. Пусть — точные грани функции на частичном сегменте разбиения — соответствующие величины для функции Тогда в силу условия на функцию для любых точек х и у, принадлежащих частичному сегменту разбиения справедливо неравенство

Поскольку неравенство справедливо для любых точек х и у, принадлежащих сегменту то тем более ибо найдутся две последовательности точек сегмента такие, что при .

Пусть, далее, — соответственно верхняя и нижняя суммы функции для выбранного разбиения сегмента Тогда

Поскольку — произвольное положительное число, то в силу основной теоремы функция интегрируема на сегменте

Теорема доказана.

Докажем теперь следующую несколько более общую теорему.

Теорема 9.4. Пусть интегрируемая по Риману на регменте функция, ее точные верхняя и нижняя грани на Пусть, далее, функция непрерывна на сегменте .

Тогда сложная функция интегрируема по Риману на сегменте

Доказательство. Пусть — произвольное положительное число. Положим Ввиду того, что равномерно непрерывна на , существует такое что если . Выберем еще и таким, что . В силу интегрируемости функции на существует такое разбиение сегмента для которого

Положим

Разобьем целые числа на два множества А и В: число если число , если Если индекс то следовательно, в силу равномерной непрерывности функции на сегменте получим, что Действительно, если рассматривается индекс то мы получим, что т. e. при разность по абсолютной величине не превосходит где Следовательно, в силу равномерной непрерывности функции на всем сегменте мы получим, что

Так как последнее неравенство справедливо для любых х и у, принадлежащих сегменту то и

Далее, если то, очевидно, что Запишем теперь разность и — соответственно верхняя и нижняя суммы функции для рассматриваемого разбиения

Осталось произвести оценку для величины Имеем

(здесь мы пользуемся тем, что все слагаемые являются неотрицательными). Учитывая, что при выбранном разбиении получаем, что

Окончательно получим, что

(Выше мы воспользовались тем, что Таким образом, функция интегрируема, и теорема доказана.

Следствие. Если функция интегрируема на сегменте то для любого положительного числа а функция интегрируема на этом же сегменте.

Действительно, достаточно рассмотреть непрерывную функцию и применить предыдущую теорему.

Приведем несколько примеров.

Примеры. 1) Пример интегрируемой функции, имеющей бесконечное число точек разрыва. Пусть на сегменте задана функция (рис. 9.4). Указанная функция имеет разрывы рода во всех точках а также разрыв рода в точке 0. Фиксируем произвольное число Покроем точку интервалом Вне этого интервала находится лишь конечное число точек разрыва функции. Число зависит от заданного е. Покроем каждую из этих точек интервалом длины меньше . Тогда все точки разрыва функции будут покрыты конечным числом интервалов, общая сумма длин которых не превосходит функция интегрируема на сегменте

Рис. 9.4

2) Из интегрируемости функции не следует, вообще говоря, интегрируемость Действительно, рассмотрим функцию равную единице для х рациональных и минус единице для х иррациональных. Тогда интегрируема.

Точно также, как и для функции Дирихле показывается, что функция неинтегрируема (см. пример из § 1).