§ 5. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

1. Классификация точек разрыва функции.

В § 1 мы договорились называть точками разрыва функции те точки, в которых; эта функция не обладает свойством непрерывности. При этом подразумевается, что функция определена в той точке, которую мы апробируем на предмет наличия или отсутствия в ней свойства непрерывности.

Расширяя наше рассмотрение, мы можем подвергнуть изучению и те точки, в которых функция не определена (при условии, конечно, что эти точки являются предельными для множества задания функции).

Выясним возможные типы точек разрыва.

1°. Устранимый разрыв.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции если предел функции в точке а существует, но в точке а функция либо не определена, либо имеет частное значение отличное от предела в этой точке.

Например, функция

имеет в точке устранимый разрыв.

Действительно, предельное значение этой функции в точке как мы доказали в § 4, равно 1. Частное же значение .

Если функция имеет в точке а устранимый разрыв, то этот разрыв можно устранить, не изменяя при этом значений функции в точках, отличных от а. Для этого достаточно положить значение функции в точке а равным ее предельному значению в этой точке. Так, в рассмотренном выше примере достаточно положить и тогда т. е. функция станет непрерывной в точке

В физических процессах точки устранимого разрыва встречаются при сосредоточенных распределениях физических величин.

2°. Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы

Образно выражаясь, разрыв первого рода можно назвать конечным скачком. Приведем некоторые примеры.

1) Функция

в точке имеет разрыв первого рода. Действительно,

и, таким образом, эти пределы не равны между собой.

2) Другой пример дает функция При Для этой функции так что точка является точкой разрыва первого рода.

3) Функция определенная всюду, кроме точки имеет в точке разрыв первого рода.

В самом деле, если сходится к 1 и состоит из элементов то является бесконечно большой последовательностью с положительными членами. Поэтому — бесконечно большая последовательность и, значит, последовательность является бесконечно малой, т. е.

Если же сходится к 1 и состоит из элементов то является бесконечно большой последовательностью с отрицательными членами. Поэтому сходится к нулю и, значит, последовательность сходится к единице, т. е.

3°. Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Примеры. 1) Функция

обладает левым пределом в точке равным нулю: . В самом деле, если — последовательность, сходящаяся

к нулю и состоящая из чисел то

Поскольку при то

Убедимся теперь в том, что рассматриваемая функция не имеет в точке правого предела. Для этого рассмотрим две сходящиеся к нулю и состоящие из положительных чисел последовательности Если бы функция обладала в точке правым пределом, то обе последовательности сходились бы к одному и тому же числу. Однако сходится к единице, а сходится к нулю.

Итак, рассматриваемая функция имеет в точке разрыв второго рода.

2) Функция очевидно, имеет разрыв второго рода в каждой из точек где ибо в каждой такой точке

Можно образно сказать, что в каждой точке функция имеет бесконечный скачок.

3) Функция

имеет разрыв второго рода в точке ибо в этой точке у нее не существует ни правого, ни левого пределов. В самом деле, поскольку достаточно удостовериться в отсутствии в точке только правого предела, а для этого достаточно заметить, что двум последовательностям значений аргумента отвечают последовательности значений функции сходящиеся первая к нулю, а вторая — к единице.

Введем понятие кусочно непрерывной функции, часто встречающееся в математике и в ее приложениях.

Функция называется кусочно непрерывной на сегменте если эта функция определена всюду на сегменте непрерывна во всех внутренних точках этого сегмента, за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет правый предел в точке а и левый предел в точке

Функция называется кусочно непрерывной на интервале (или на бесконечной прямой), если кусочно непрерывна на любом принадлежащем этому интервалу (или бесконечной прямой) сегменте.

Например, функция кусочно непрерывна как на любом сегменте, так и на бесконечной прямой.