Глава 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

В этой главе рассматриваются приближенные методы нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений и вычисления определенных интегралов.

§ 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ

В этом параграфе мы займемся приближенным вычислением одного из корней уравнения , где — некоторая, во всяком случае, непрерывная функция. Мы будем считать, что интересующий нас корень этого уравнения изолирован на некотором сегменте т. е. будем считать, что этот корень является внутренней точкой сегмента не содержащего других корней рассматриваемого уравнения.

На практике обычно путем грубой прикидки определяют размеры указанного сегмента

1. Метод «вилки».

Мы начнем наше знакомство с метода, который часто используется для приближенного вычисления корней на современных быстродействующих математических машинах. Основой этого метода служит новое доказательство теоремы 4.12 о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака. Изложим это доказательство.

Требуется доказать следующее

Утверждение. Если функция непрерывна на сегменте и если значения этой функции на концах сегмента суть числа разных знаков, то внутри сегмента найдется такая точка с, в которой значение функции равно нулю, т. е. с является корнем уравнения

Договоримся называть «вилкой» любой сегмент, на концах которого функция имеет значения разных знаков. По условию сегмент является «вилкой». Пусть ради определенности Разделим сегмент пополам. При этом может представиться два случая: 1) значение функции в середине сегмента равно нулю (в этом случае теорема доказана), 2) указанное значение не равно нулю. В этом случае одна

из половин сегмента является «вилкой». Эту половину мы обозначим Очевидно, что . С сегментом поступим точно так же, как с сегментом т. е. разделим сегмент пополам.

Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы будем иметь две возможности: 1) либо описанный выше процесс оборвется вследствие того, что значение функции в середине некоторого из сегментов окажется равным нулю (в этом случае теорема доказана), 2) либо описанный процесс можно продолжать неограниченно, и мы получим стягивающуюся систему сегментов — «вилок» причем для любого номера Согласно следствию из теоремы 3.15 указанная стягивающаяся система сегментов имеет одну общую точку с, к которой сходятся каждая из последовательностей Докажем, что Поскольку функция непрерывна в точке с, то каждая из последовательностей сходится к Но тогда из условий в силу теоремы 3.13 получим, что одновременно справедливы неравенства Утверждение доказано.

Предположим теперь, что в условиях доказанного выше утверждения сегмент содержит только один корень с уравнения Тогда за приближенное значение этого корня можно взять точку т. е. середину сегмента

Поскольку длина сегмента равна то число отличается от точного значения корня не более чем на Таким образом, описанный выше процесс последовательного деления сегментов — «вилок» пополам позволяет вычислить искомый корень с с любой наперед заданной степенью точности. Так как описанный процесс приводит к многократному повторению однотипных вычислительных операций, он особенно удобен для проведения вычислений на быстродействующих математических машинах.