2. Определение производной.

Пусть, как и в функция определена на интервале — фиксированная точка этого интервала, — любое приращение аргумента, настолько малое, что число также принадлежит интервалу

Считая, что рассмотрим в данной фиксированной точке х отношение приращения А у функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента

Отношение (5.5) будем называть разностным отношением (в данной точке Так как х фиксировано, разностное отношение (5.5) представляет собой функцию аргумента Эта функция определена для всех значений аргумента принадлежащих некоторой достаточно малой -окрестности точки за исключением самой точки т. е. определена всюду в достаточно малой проколотой -окрестности точки Это дает нам право рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции при

Определение 1. Производной функции в данной фиксированной точке х называется предел при разностного отношения (5.5) (при условии, что этот предел существует)

Производную функции в данной фиксированной точке х будем обозначать символом или или кратким символом у.

Итак, по определению

Если функция имеет производную для всех точек х интервала то эта производная будет представлять собой некоторую функцию аргумента х, определенную на интервале

Приведем два тривиальных примера вычисления производных Совершенно очевидно, что производная этой функции тождественно равна нулю, ибо приращение этой функции равно нулю для всех х и всех

Для этой функции разностное отношение (5.5) равно

Отсюда следует, что и производная указанной функции равна единице в любой точке бесконечной прямой.

В полной аналогии с понятиями правого и левого пределов функции в данной точке вводятся понятия правой и левой производных функции в данной фиксированной точке х.

Определение 2. Правой [левой] производной функции в данной фиксированной точке х называется правый [левый] предел разностного отношения (5.5) в точке (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения правой [левой] производной функции в точке х используют символ

Из сопоставления определений 1 и 2 и из свойства правого к левого пределов функции, установленного в п. 2 § 4 гл. вытекают следующие утверждения:

1) если функция имеет в точке х производную эта функция имеет в точке х как правую, так и левую производные, причем

2) если функция имеет в точке х как правую, так и левую производные, причем эти производные равны друг другу, то функция имеет в точке х производную причем

В дополнение к утверждению 2) следует отметить, что если у функции существуют правая и левая производные в точке но эти производные не равны друг другу, то у этой функции не

существует производной в точке х. Примером такой функции может служить функция

Эта функция имеет в точке правую производную, равную и левую производную, равную но не имеет в точке производной.