§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

1. Дифференцирование сложной функции.

Установим правило, позволяющее найти производную сложной функции в точке t при условии, что известны производные составляющих ее функций в точках t и соответственно.

Теорема 5.3. Пусть функция дифференцируема в точке а функция дифференцируема в соответствующей точке Тогда сложная функция дифференцируема в указанной точке причем для ее производной в этой точке справедлива формула

Доказательство. Придадим аргументу функции в данной точке t произвольное отличное от нуля приращение Этому приращению отвечает приращение

функции причем указанное приращение может обращаться в нуль.

Приращению в свою очередь, отвечает приращение функции в соответствующей точке Поскольку функция по условию дифференцируема в указанной точке то ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

где а имеет при предел, равный нулю.

Подчеркнем, что, как указано в п. 1 § 2, представление (5.14) остается справедливым и при

Поделив (5.14) на будем иметь

Докажем, что правая (а значит, и левая) часть (5.15) имеет предел при причем этот предел равен величине, стоящей в правой части (5.13). Этим будет доказана дифференцируемость сложной функции и формула (5.13) для ее производной.

Из дифференцируемости функции в точке t вытекает, что отношение имеет предел при равный Остается доказать, что функция а имеет предел при равный нулю, но это сразу вытекает из того, что при и что при на основании разностной формы условия непрерывности дифференцируемой в точке t функции Итак, вся правая часть (5.15) имеет предел при и этот предел равен величине, стоящей в правой части (5.13).

Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 5.3 и содержащееся в ее формулировке правило вычисления производной сложной функции последовательно переносится на сложную функцию, являющуюся суперпозицией трех и большего числа функций. Так, для сложной функции, являющейся суперпозицией трех функций правило дифференцирования имеет вид

причем формула (5.16) справедлива при условии, что функция дифференцируема в данной точке функция ференцируема в соответствующей точке а функция дифференцируема в соответствующей точке

Замечание 2. При доказательстве теоремы 5.3 мы рассматривали сложную функцию вида где т. е. обозначили символом х промежуточный аргумент. Эта символика, конечно, может быть изменена. Чаще удобнее бывает обозначать символом х окончательный аргумент, т. е. рассматривать сложную функцию вида В этих обозначениях правило дифференцирования сложной функции (5.13) принимает вид

Примеры применения правила дифференцирования сложной функции будут приведены в следующем параграфе.