функции
причем указанное приращение
может обращаться в нуль.
Приращению
в свою очередь, отвечает приращение
функции
в соответствующей точке
Поскольку функция
по условию дифференцируема в указанной точке
то ее приращение
в этой точке может быть представлено в виде
где а
имеет при
предел, равный нулю.
Подчеркнем, что, как указано в п. 1 § 2, представление (5.14) остается справедливым и при
Поделив (5.14) на
будем иметь
Докажем, что правая (а значит, и левая) часть (5.15) имеет предел при
причем этот предел равен величине, стоящей в правой части (5.13). Этим будет доказана дифференцируемость сложной функции и формула (5.13) для ее производной.
Из дифференцируемости функции
в точке t вытекает,
что отношение имеет предел при
равный
Остается доказать, что функция а
имеет предел при
равный нулю, но это сразу вытекает из того, что
при
и что
при
на основании разностной формы условия непрерывности дифференцируемой в точке t функции
Итак, вся правая часть (5.15) имеет предел при
и этот предел равен величине, стоящей в правой части (5.13).
Теорема доказана.
Замечание 1. Теорема 5.3 и содержащееся в ее формулировке правило вычисления производной сложной функции последовательно переносится на сложную функцию, являющуюся суперпозицией трех и большего числа функций. Так, для сложной функции, являющейся суперпозицией трех функций
правило дифференцирования имеет вид
причем формула (5.16) справедлива при условии, что функция
дифференцируема в данной точке
функция
ференцируема в соответствующей точке
а функция
дифференцируема в соответствующей точке
Замечание 2. При доказательстве теоремы 5.3 мы рассматривали сложную функцию вида
где
т. е. обозначили символом х промежуточный аргумент. Эта символика, конечно, может быть изменена. Чаще удобнее бывает обозначать символом х окончательный аргумент, т. е. рассматривать сложную функцию вида
В этих обозначениях правило дифференцирования сложной функции (5.13) принимает вид
Примеры применения правила дифференцирования сложной функции будут приведены в следующем параграфе.