2. Основная формула интегрального исчисления.

Мы уже знаем из предыдущих рассмотрений, что любые две первообразные функции заданной на сегменте отличаются на постоянную. Поэтому если , а - любая

другая первообразная непрерывной функции то (см. теорему 9.5). Положим в последней формуле сначала , а затем . Как мы условились (см. п. 1 предыдущего параграфа), для любой функции, принимающей конечное значение в точке а, поэтому . Отсюда

и нами получена основная формула интегрального исчисления. Сформулируем ее в виде теоремы.

Теорема (основная теорема интегрального исчисления). Для того чтобы вычислить определенный интеграл по сегменту от непрерывной функции следует вычислить значение произвольной ее первообразной в точке Ь и в точке а и вычесть из первого значения второе.

Теперь мы имеем правило вычисления определенного интеграла от широкого класса интегрируемых функций. Задача вычисления определенного интеграла свелась к задаче нахождения первообразной непрерывной функции. Естественно, что не для всякой функции найти первообразную просто. Мы уже неоднократно указывали функции, первообразные которых не выражаются через элементарные функции (см. например, этого параграфа). В этом случае, естественно, возникает вопрос о приближенном вычислении определенных интегралов, о чем пойдет речь ниже.

Основную формулу интегрального исчисления часто записывают в форме Где введено обозначение