§ 5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

1. Частные производные высших порядков.

Пусть частная производная - по аргументу функции определенной в области существует в каждой точке области . В этом случае указанная частная производная представляет собой

бой функцию переменных также определенную в области

Может случиться, что эта функция - имеет частную производную по аргументу в некоторой точке М области . Тогда указанную частную, производную по аргументу называют второй частной производной или частной производной второго порядка функции в точке М сначала по аргументу а затем по аргументу и обозначают одним из следующих символом:

При этом если то частная производная - называется смешанной частной производной второго порядка. После того как введено понятие второй частной производной, можно последовательно ввести понятие третьей частной производной, затем четвертой и т. д.

Если предположить, что нами уже введено понятие частной производной функции по аргументам (отдельные или даже все номера которых могут совпадать) и что эта частная производная имеет в точке М частную производную по аргументу то указанную частную производную называют частной производной (или частной производной порядка) функции в точке М по аргументам

Таким образом, мы вводим понятие частной производной индуктивно, переходя от первой частной производной к последующим. Соотношение, определяющее частную производную по аргументам имеет вид

Если не все индексы совпадают между собой, то частная производная называется смешанной частной производной порядка.

Так как частная производная функции по аргументу определяется как обыкновенная производная функции одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных, то методика вычисления частных производных высших порядков предполагает умение вычислять только обыкновенные производные первого порядка. В качестве примера вычислим частные производные второго порядка функции

Имеем

В рассмотренном примере смешанные частные производные равны друг другу. Вообще говоря, значения смешанных производных зависят от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования. Убедимся, например, что смешанные частные производные функции

в точке (0, 0) существуют, но не равны друг другу. Действительно,

Поэтому

Проводя аналогичные вычисления, получим

Таким образом, в точке

Выясним достаточные условия независимости значений смешанных производных от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Введем важное понятие функции переменных, раз дифференцируемой в данной точке.

Определение. Функция называется раз дифференцируемой в точке если все ее частные производные порядка являются дифференцируемыми в этой точке функциями.

Из этого определения вытекает, что если функция раз дифференцируема в точке то при любая ее

частная производная первого порядка раз дифференцируема в точке при любая ее частная производная второго порядка раз дифференцируема в точке

Укажем достаточное условие -кратной дифференцируемости функции в данной точке.

Для того чтобы функция была раз дифференцируемой в точке достаточно, чтобы все ее частные производные порядка были непрерывными точке

Справедливость этого утверждения вытекает из определения дифференцируемости функции и теоремы 12.10 о достаточных условиях дифференцируемости.

Теорема 12.13. Пусть функция дважды дифференцируема в точке Тогда в этой точке частные производные равны.

Доказательство. Так как функция дважды дифференцируема в точке то частные производные определены в некоторой -окрестности точки и представляют собой дифференцируемые функции в этой точке.

Рассмотрим выражение

где любое столь малое число, что точка находится в указанной -окрестности точки Выражение Ф можно рассматривать как приращение дифференцируемой на сегменте функции одной переменной х. Поэтому по формуле Лагранжа, обозначая через 0 некоторое число из интервала можно записать:

Так как частная производная является дифференцируемой в точке функцией, то

где — бесконечно малые при функции. Подставляя найденные выражения для в формулу (12.39), получим

где — бесконечно малая при функция. С другой

стороны, выражение Ф, определяемое соотношением (12.38), можно рассматривать как приращение дифференцируемой на сегменте функции Применяя формулу Лагранжа и учитывая дифференцируемость частной производной в точке мы получим совершенно аналогично предыдущему следующее выражение для Ф:

где — бесконечно малая при функция. Приравнивая правые части соотношений (12.40) и (12.41) и сокращая обе части полученного равенства на найдем, что . Так как — бесконечно малые при функции, то из последнего равенства следует, что . Теорема доказана.

Теорема 12.13 утверждает, что в данной точке имеет место равенство если в этой точке дифференцируемы Из дифференцируемости в точке вытекает существование в этой точке всех частных производных второго порядка. Однако равенство имеет место и при условии существования лишь производных но при дополнительном требовании непрерывности этих производных в рассматриваемой точке. Именно справедлива следующая теорема.

Теорема 12.13. Пусть в некоторой окрестности точки функция имеет частные производные Пусть, кроме того, производные непрерывны в точке Тогда в этой точке

Для доказательства воспользуемся выражением Ф, определенным соотношением (12.38). Из (12.39) вытекает, что Ф представляет собой умноженную на разность значений функции в точках - Применяя к этой разности формулу Лагранжа конечных приращений по переменной у на сегменте получим

В силу непрерывности в точке из последнего равенства получаем

С другой стороны, эта же величина Ф представляет собой умноженную на разность значений функции в точках Применяя к этой разности формулу Лагранжа конечных приращений по переменной х на сегменте и учитывая непрерывность в точке получим

Приравнивая последние два выражения для Ф и рассуждая так же, как и в конце доказательства теоремы 12.13, мы убедимся в справедливости нужного нам равенства

Докажем теперь теорему о независимости значения любой смешанной частной производной порядка от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Теорема 12.14. Пусть функция раз дифференцируема в точке Тогда в этой точке значение любой смешанной частной производной порядка не зависит от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать независимость значения любой смешанной производной от порядка проведения двух последовательных дифференцирований. Иными словами, достаточно доказать равенство

Рассмотрим функцию Эта функция представляет собой дважды дифференцируемую функцию переменных и Поэтому в силу теоремы 12.13

Отсюда и вытекает справедливость равенства (12.42). Теорема доказана.

Отметим, что в случае раз дифференцируемой в точке функции любую ее частную производную порядка можно записать в виде

где — целые числа, удовлетворяющие условиям: