§ 7. ПОНЯТИЕ КОМПАКТНОСТИ МНОЖЕСТВА
1. Открытые и замкнутые множества.
Рассмотрим произвольное множество вещественных чисел 
Определение 1. Точка х множества 
называется внутренней точкой этого множества, если существует положительное число 
такое, что 
-окрестность точки х также принадлежит множеству 
Определение 2. Множество 
называется открытым, если любая точка этого множества является внутренней, его точкой.
Примерами открытых множеств могут служить интервал, открытая полупрямая, бесконечная прямая, объединение нескольких непересекающихся интервалов.
Определение 3. Множество 
называется замкнутым, если дополнение этого множества (т. е. разность (
-оок 
является открытым множеством.
В замечании 4 в конце 
§ 6 было дано другое определение замкнутого множества. Напомним его формулировку.
Определение 3. Множество 
называется замкнутым, если это множество содержит все свои предельные точки.
Убедимся в том, что для случая произвольных числовых множеств определения 3 и 3 эквивалентны.
1) Пусть сначала множество 
является дополнением открытого множества. Докажем, что в таком случае любая предельная точка 
этого множества 
обязательно ему принад лежит.
В самом целе, предположив, что предельная точка х не принадлежит множеству 
мы бы получили, что х принадлежит дополнению множества 
которое является открытым множеством. Но тогда х принадлежала бы этому открытому множеству вместе с некоторой своей 
-окрестностью, т. е. некоторая 
-окрестность точки х не содержала бы точек множества 
а это противоречило бы тому, что х является предельной, точкой множества 
2) Пусть любая предельная точка множества 
принадлежит этому множеству. Докажем, что множество 
является дополнением открытого множества. Пусть х — любая точка дополнения множества 
Требуется доказать, что это дополнение содержит и некоторую 
-окрестность точки х.
Если бы это было не так, то любая 
-окрестность точки х содержала бы точки множества 
т. е. точка х являлась бы предельной точкой множества 
и по условию ему принадлежала, а это противоречило бы тому, что х — точка дополнения) множества 
