Нелинейное отображение
называется ограниченным, если для всякого ограниченного множества
соответствующее множество
ограничено в
(множество в нормированном пространстве ограничено, если его можно поместить внутрь некоторого шара с центром в начале координат). Нелинейное непрерывное отображение не обязано быть ограниченным.
Очевидно, что пространство
является подпространством В линейном пространстве
зададим систему окрестностей нуля (для любого натурального
и произвольного
и тем самым зададим топологию в пространстве
Читателю предлагается проверить, что данной системой окрестностей в пространстве
задана топология. На подпространстве
эта топология совпадает с обычной топологией, задаваемой операторной нормой.
Рассмотрим сегмент
Пусть задано непрерывное отображение
этого сегмента в пространство
т. е. каждой точке
сопоставлено некоторое отображение
непрерывно зависящее от точки
Определим интеграл от
по сегменту
по определению полагая
Здесь оператор
применяется к элементу
При каждом
величина
представляет собой элемент пространства
— образ элемента
при отображении
Согласно построениям
интеграл, стоящий в правой части формулы, существует и является элементом пространства
Используя эти замечания, докажем формулу Ньютона — Лейбница для интеграла от абстрактной функции.
Рассмотрим отображение
которое действует из
и имеет на сегменте
сильную производную
непрерывную по х.
Напомним, что отображение
непрерывно в точке
, если для любого шара с центром в точке
лежащего в
найдется такой шар с центром в точке х, лежащий в
образ которого при отображении
целиком содержится в указанном шаре с центром в точке