6. Формула Ньютона — Лейбница для абстрактных функций.

В проведенных выше рассмотрениях через мы обозначали пространство всех линейных ограниченных (непрерывных) отображений из линейного нормированного пространства в линейное нормированное пространство Топологию в пространстве задает, например, норма в этом пространстве. Заметим, что для задания топологии (системы? окрестностей каждой точки) в линейном пространстве достаточно задать систему окрестностей начала координат, в силу линейности пространства тем самым будут заданы; окрестности каждой точки.

Рассмотрим теперь линейное пространство всех, непрерывных ограниченных, быть может, нелинейных, отображений пространства

Нелинейное отображение называется ограниченным, если для всякого ограниченного множества соответствующее множество ограничено в (множество в нормированном пространстве ограничено, если его можно поместить внутрь некоторого шара с центром в начале координат). Нелинейное непрерывное отображение не обязано быть ограниченным.

Очевидно, что пространство является подпространством В линейном пространстве зададим систему окрестностей нуля (для любого натурального и произвольного

и тем самым зададим топологию в пространстве Читателю предлагается проверить, что данной системой окрестностей в пространстве задана топология. На подпространстве эта топология совпадает с обычной топологией, задаваемой операторной нормой.

Рассмотрим сегмент Пусть задано непрерывное отображение этого сегмента в пространство т. е. каждой точке сопоставлено некоторое отображение непрерывно зависящее от точки

Определим интеграл от по сегменту по определению полагая

Здесь оператор применяется к элементу При каждом величина представляет собой элемент пространства — образ элемента при отображении

Согласно построениям интеграл, стоящий в правой части формулы, существует и является элементом пространства

Используя эти замечания, докажем формулу Ньютона — Лейбница для интеграла от абстрактной функции.

Рассмотрим отображение которое действует из и имеет на сегменте сильную производную непрерывную по х.

Напомним, что отображение непрерывно в точке , если для любого шара с центром в точке лежащего в найдется такой шар с центром в точке х, лежащий в образ которого при отображении целиком содержится в указанном шаре с центром в точке

Отображение непрерывно на сегменте (т. е. на множестве точек вида где если оно непрерывно в любой внутренней точке сегмента (т. е. когда точка отвечает параметру t такому, что и, кроме того, непрерывно в точке справа и в точке слева.

Поскольку отображение непрерывно на сегменте то существует интеграл

Докажем, что имеет место равенство

которое и называется формулой Ньютона — Лейбница для абстрактных функций.

По определению интеграла можем записать

где — диаметр разбиения сегмента

С другой стороны, легко заметить, что

Рассмотрим разность и применим к ней формулу из следствия к теореме п. 2 Лагранжа. При получим

Просуммируем эти неравенства по всем от 0 до и вместо поставим Получим

Так как производная непрерывна на сегменте то она является и равномерно непрерывной на этом сегменте. Поэтому правая часть неравенства, написанного выше, стремится к нулю при неограниченном измельчении разбиения сегмента откуда и вытекает, что

если Формула Ньютона — Лейбница доказана.