3. Степенная функция.

Определим теперь степенную функцию с любым вещественным показателем а через суперпозицию логарифмической функции и показательной. Пусть Тогда общая степенная функция определяется так:

где — любое фиксированное число, ради определенности большее единицы:

Из этого определения и из того, что при логарифмическая функция возрастает на всей полупрямой а показательная функция возрастает на всей бесконечной прямой, вытекает, что степенная функция возрастает при и убывает при на полупрямой

Справедливы следующие свойства:

1) Для степенной функции выполнены соотношения:

В самом деле, пусть — любая сходящаяся к нулю справа последовательность значений аргумента Так как то из свойств показательной функции вытекает, что при при По определению положим при и будет считать это выражение неопределенным при

2) Степенная функция непрерывна в каждой точке х открытой полупрямой

Это сразу же вытекает из теоремы 4.2 непрерывности сложной функции с учетом того, что функция непрерывна в любой точке а функция непрерывна в любой точке и бесконечной прямой.

Замечание. Если показатель а степенной функции представляет собой рациональное число где — нечетное целое число, то степенную функцию можно определить на всей числовой оси, полагая при

На рис. изображены графики степенной функции для различных значений а.