§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ m ПЕРЕМЕННЫХ

1. Последовательности точек пространства E^m.

Введем понятие последовательности точек -мерного евклидова пространства . Пусть каждому числу натурального ряда чисел ставится в соответствие точка евклидова пространства . Возникающий при этом ряд точек рассматриваемый в указанном порядке, называется последовательностью точек евклидова пространства . Мы будет кратко обозначать эту последовательность символом

Введем, далее, понятие сходящейся последовательности точек пространства и ее предела.

Последовательность точек евклидова пространства называется сходящейся, если существует точка А пространства

такая, что для любого положительного числа можно указать отвечающий ему номер такой, что при выполняется неравенство При этом точка А называется пределом последовательности

Для обозначения предела А последовательности используется следующая символика:

Установим следующую лемму.

Лемма 1. Последовательность точек -мерного евклидова пространства сходится к точке А этого пространства тогда и только тогда, когда числовые последовательности координат точек сходятся соответственно к числам представляющим собой координаты точки А.

Доказательство. Сначала докажем первую часть леммы. Так как последовательность сходится к точке А, то для любого можно указать номер такой, что при выполняется неравенство . Пусть — координаты точки — координаты точки А. Тогда неравенство можно записать следующим образом:

Отсюда следует, что при выполняются неравенства

Иными словами, последовательности координат точек сходятся соответственно к числам .

Первая часть леммы доказана.

Перейдем к доказательству второй части леммы. Предположим, что указанные последовательности координат точек сходятся соответственно к числам . Тогда для любого можно указать номера такие, что при соответственно выполняются неравенства

Отсюда следует, что при выполняется неравенство (12.4). Иными словами, при выполняется неравенство где А — точка с координатами . Таким образом, последовательность сходится к точке А. Лемма доказана.

Введем теперь понятие фундаментальной последовательности точек пространства Ет. Последовательность точек -мерного евклидова пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого положительного

тельного числа можно указать отвечающий ему номер такой, что при и при любом целом выполняется неравенство

В полной аналогии с леммой 1 может быть доказано следующее утверждение.

Лемма 2. Последовательность точек -мерного евклидова пространства является фундаментальной тогда и только тогда, когда является фундаментальной каждая из числовых последовательностей соответствующих координат точек

Доказательство. Для доказательства первой части леммы предположим, что последовательность точек является фундаментальной, т. е. для любого найдется номер такой, что при и для любого целого справедливо неравенство или, что то же самое, неравенство

Из этого неравенства вытекает, что при и для любого целого справедливы неравенства

которые и устанавливают фундаментальность каждой из числовых последовательностей соответствующих координат точек

Для доказательства второй части леммы предположим фундаментальность каждой из числовых последовательностей соответствующих координат точек

Тогда для любого можно указать номера ггакие, что соответственно при и для любых целых 0 будут справедливы неравенства

Отсюда следует, что при и для любого целого будет справедливо неравенство (12.4, которое и означает фундаментальность последовательности точек Лемма 2 доказана.

С помощью лемм 1 и 2 легко доказывается критерий Коши сходимости последовательности точек пространства для того чтобы последовательность точек пространства была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

В самом деле, если последовательность точек является фундаментальной, то в силу леммы 2 является фундамен: тальной и каждая из числовых последовательностей соответствую координат точек . В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности указанные числовые последовательности

соответствующих координат сходятся к некоторым числам соответственно. Но тогда в силу леммы 1 последовательность точек сходится к точке

Если, наоборот, последовательность точек сходится к некоторой точке А пространства то в силу леммы 1 каждая из числовых последовательностей соответствующих координат точек сходится к соответствующей координате точки А. Но тогда (в силу критерия Коши сходимости числовой последовательности) каждая из числовых последовательностей соответствующих координат точек является фундаментальной и, значит, в силу леммы 2, является фундаментальной и последовательность точек