5. Дифференциал функции нескольких переменных.
Определение. Дифференциалом
дифференцируемой в точке
функции
называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке М. Если все коэффициенты
в представлении (12.14) приращения дифференцируемой функции равны нулю, то дифференциал
функции в точке М считается равным нулю.
Таким образом, дифференциалом
дифференцируемой в точке М функции
называется выражение
Используя теорему 12.9, мы можем, очевидно, переписать выражение (12.18) для дифференциала
следующим образом:
Введем понятие дифференциала
независимой переменной
Под дифференциалом
независимой переменной
можно понимать любое (не зависящее от
число. Договоримся в дальнейшем брать это число равным приращению
независимой переменной
Эта договоренность позволяет нам переписать формулу (12.19) в виде
Подчеркнем, что формула (12.20) установлена нами лишь для случая, когда аргументы
являются независимыми переменными. Однако ниже, в
этого параграфа, мы докажем, что формула (12.20) остается справедливой и для случая, когда аргументы
не являются независимыми переменными, а сами представляют собой дифференцируемые функции некоторых новых переменных.