5. Дифференциал функции нескольких переменных.

Определение. Дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке М. Если все коэффициенты в представлении (12.14) приращения дифференцируемой функции равны нулю, то дифференциал функции в точке М считается равным нулю.

Таким образом, дифференциалом дифференцируемой в точке М функции называется выражение

Используя теорему 12.9, мы можем, очевидно, переписать выражение (12.18) для дифференциала следующим образом:

Введем понятие дифференциала независимой переменной Под дифференциалом независимой переменной можно понимать любое (не зависящее от число. Договоримся в дальнейшем брать это число равным приращению независимой переменной Эта договоренность позволяет нам переписать формулу (12.19) в виде

Подчеркнем, что формула (12.20) установлена нами лишь для случая, когда аргументы являются независимыми переменными. Однако ниже, в этого параграфа, мы докажем, что формула (12.20) остается справедливой и для случая, когда аргументы не являются независимыми переменными, а сами представляют собой дифференцируемые функции некоторых новых переменных.