3. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций.

В то время как установленное выше правило вычисления

первой производной от суммы или разности двух функций легко переносится (например, по методу индукции) на случай производной возникают затруднения при вычислении производной от произведения двух функций и V.

Соответствующее правило носит название формулы Лейбница и имеет следующий вид:

Легко подметить закон, по которому построена правая часть формулы Лейбница (5.47): она совпадает с формулой разложения бинома лишь вместо степеней и и и стоят производные соответствующих порядков.

Это сходство становится еще более полным, если вместо самих функций и и писать соответственно (т. е. если рассматривать саму функцию как производную нулевого порядка).

Докажем формулу Лейбница по методу индукции. При эта формула принимает вид что совпадает с установленным выше (в § 4) правилом дифференцирования произведения двух функций. Поэтому достаточно, предположив справедливость формулы (5.47) для некоторого номера , доказать ее справедливость для следующего номера

Итак, пусть для некоторого номера формула (5.47) верна. Продифференцируем эту формулу и объединим слагаемые, стоящие в правой части, так, как это указано ниже:

(При этом мы воспользовались тем, что

Легко проверить, что для любого номера не превосходящего справедлива формула

Для того чтобы убедиться в справедливости формулы (5.49), достаточно заметить, что

Из написанных соотношений вытекает, что

Используя формулу (5.49), мы можем следующим образом переписать соотношение (5.48):

Тем самым мы убедились в справедливости формулы (5.47) для номера Индукция проведена, и вывод формулы Лейбница (5.47) завершен.

Пример. Вычислим производную функции Полагая в формуле Лейбница и учитывая, что (для любого номера мы получим, что

Подчеркнем, что формула Лейбница особенно эффективна в том случае, когда одна из перемножаемых функций имеет лишь конечное число отличных от нуля производных и не представляет затруднения вычисление всех производных другой из перемножаемых функций.