6. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке.

Выше мы рассмотрели вопрос о наличии у функции экстремума в такой точке с, в которой функция дифференцируема. В этом пункте мы изучим вопрос о наличии экстремума в точке с у такой функции, которая недифференцируема в точке с, но дифференцируема всюду в некоторой окрестности справа и слева от с и, кроме того, непрерывна в точке с.

Оказывается, теорема 7.1 может быть обобщена на случай такой функции. Именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 7.4. Пусть функция дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть может, самой точки с, и непрерывна в точке с.

Тогда, если в пределах указанной окрестности производная положительна (отрицательна) слева от точки с и отрицательна (положительна) справа от точки с, то функция имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если же производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет.

Доказательство в точности совпадает с доказательством теоремы 7.1.

Достаточно заметить, что условия теоремы 7.4 и на этот раз обеспечивают применимость к теоремы 6.4 Лагранжа по сегменту, ограниченному точками с и где — любое число из достаточно малой окрестности точки с.

Примеры. 1) Найти точки экстремума функции Эта функция дифференцируема всюду на бесконечной прямой, кроме точки и непрерывна в точке причем производная равна 1 при и равна —1 при

Теорема 7.1 к этой функции неприменима, а согласно теореме 7.4 она имеет минимум при (рис. 7.4).

Рис. 7.4

Рис. 7.5

2) Найти точки экстремума функции Эта функция непрерывна на всей бесконечной прямой и дифференцируема всюду на этой прямой, за исключением точки Производная при равна

В предыдущем примере производная имела в точке конечный скачок, на этот раз производная имеет в точке разрыв рода («бесконечный скачок»). Из выражения для производной заключаем, что эта производная отрицательна слева от точки и положительна справа от этой точки. Значит, теорема 7.4 позволяет утверждать, что рассматриваемая функция имеет минимум в точке (график рассматриваемой функции изображен на рис. 7.5).

3) Найти точки экстремума функции

Легко видеть, что функция непрерывна на всей бесконечной прямой. В самом деле, единственной «сомнительной» точкой является точка но и в этой точке функция непрерывна, ибо

Далее, очевидно, что рассматриваемая функция дифференцируема на всей бесконечной прямой, кроме точки Всюду, кроме этой точки, производная определяется формулой

Легко видеть, что предел не существует, так что функция недифференцируема в точке Поскольку производная у положительна и слева, и справа от точки рассматриваемая функция согласно теореме не имеет экстремума в точке а значит, и вообще не имеет экстремумов. (График рассматриваемой функции изображен на рис. 7.6.)

Рис. 7.6

Рис. 7.7