§ 3. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ в ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ

Хотя, как уже отмечалось выше, неопределенный интеграл от элементарной функции может не выражаться через элементарные функции, все же существуют широкие классы функций, неопределенные интегралы от которых выражаются через элементарные функции. Изучению таких классов функций и будет посвящен настоящий параграф.

Наиболее важным среди указанных классов функций является класс рациональных дробей, представляющих собой отношение

ношение двух алгебраических многочленов. Изучению класса циональных дробей, мы предпошлем краткие сведения о комплексных числах и об алгебраических многочленах.

1. Краткие сведения о комплексных числах.

Два вещественных числа х и у мы будем называть упорядоченной пардй, если указано, какое из этих чисел является первым, какое вторым. Упорядоченную пару вещественных чисел х и у будем обозначать символом записывая на первом месте первый элемент этой пары.

Комплексным числом называется упорядоченная пара вещественных чисел, первое из которых х называется действительной частью, а второе у — мнимой частью этого комплексного числа,

В случае, когда мнимая часть у равна нулю, соответствующую пару договариваются отождествлять с вещественным числом х. Это позволяет рассматривать множество всех вещественных чисел как подмножество комплексных чисел.

Два комплексных числа называются равными, если Говорят, что комплексное число равно нулю, еслих

Определим операции сложения и умножения комплексных чисел. Поскольку вещественные числа являются подмножеством комплексных чисел, эти операции должны быть определены так, чтобы в применении к двум вещественным числам они приводили к уже известным нам из § 4 гл. 2 определениям суммы и произведения вещественных чисел.

Суммой двух комплексных чисел назовем комплексное число вида

Произведением двух комплексных чисел назовем комплексное число вида

Легко проверить, что сумма и произведение комплексных чисел обладают теми же самыми свойствами, что и сумма и произведение вещественных чисел. Именно справедливы следующие свойства:

(переместительное свойство суммы).

(сочетательное свойство суммы).

(особая роль числа

4°. Для каждого числа существует противоположное ему число такое, что .

(переместительное свойство произведения).

(сочетательное свойство произведения).

(особая роль числа

8°. Для любого комплексного числа не равного нулю; существует обратное ему число (распределительное свойство произведения относительно суммы).

Свойства позволяют утверждать, что для комплексных, чисел полностью сохраняются все правила элементарной алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств.

Кроме того, эти свойства полностью решают вопрос о вычитании комплексных чисел как о действии, обратном сложению, и о делении комплексных чисел как о действии, обратном умножению.

Разностью двух комплексных чисел называется такое комплексное число которое в сумме с дает . С помощью свойств элементарно устанавливается существование и единственность разности двух любых, комплексных чисел.

Легко проверить, что разностью двух комплексных чисел. является комплексное число вида

Частным двух комплексных чисел второе из которых не равно нулю, называется такое комплексное число которое при умножении на дает С помощью, свойств легко установить, что единственным частным двух указанных комплексных чисел является комплексное число вида

В операциях с комплексными числами особую роль играет число, представимое парой (0, 1) и обозначаемое буквой Умножая эту пару самое на себя (т. е. возводя ее в квадрат), получим в силу определения произведения комплексных чисел

Заметив это, мы можем любое комплексное число представить в виде

В дальнейшем мы будем широко использовать для комплексного числа представление Это представление-.

и рассмотрение в качестве множителя, квадрат которого равен — 1, позволяет производить операции с комплексными числами так же, как они производятся с алгебраическими многочленами.

Комплексное число принято называть сопряженным по отношению к комплексному числу

Очевидно, что комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равно нулю сопряженное ему число

Для геометрического изображения комплексных чисел удобно пользоваться декартовой прямоугольной системой координат. При этом комплексное число изображается или точкой М с координатами или вектором идущим из начала координат в точку М.

При таком способе изображения сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих им векторов (это понятно из формул (8.13) и

Непосредственно из определения (8.14) произведения двух комплексных чисел вытекает следующее утверждение: произведение двух (а значит, и нескольких) комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда обращается в нуль хотя бы из сомножителей.

В самом деле, если хотя бы одно из чисел равно (0,0), то из (8.14) очевидно, что

Если, наоборот, равно (0,0), то из (8.14) следует, что

и если то (8.14) представляет собой однородную систему двух уравнений относительно двух неизвестных с определителем отличным от нуля. Такая система имеет только тривиальное решение, т. е.

Непосредственно из определения (8.14) произведения двух комплексных чисел вытекает и еще одно утверждение: комплексное число, сопряженное к произведению двух (а значит, и нескольких) комплексных чисел, равно произведению комплексных чисел, являющихся сопряженными к каждому из сомножителей, т. е.

С помощью правила перемножения комплексных чисел (8.14) легко проверяется, что как правая, так и левая часть равна одному и тому же комплексному числу