2. Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов.

1°. Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида

где — переменное комплексное число, а Со, — некоторые постоянные комплексные числа, первое из которых отлично от нуля. Как известно, любой алгебраический многочлен степени можно поделить «столбиком» на другой алгебраический многочлен степени не выше чем Таким путем мы приходим к следующему утверждению: каковы, бы ни были два многочлена такие, что степень не выше, чем степень справедливо равенство

в котором — некоторые многочлены, причем степень равна разности степеней многочленов , а степень ниже степени

По отношению к фигурирующим в равенстве (8.17) многочленам обычно применяют вполне понятные термины «делимое», «делитель», «частное» и «остаток».

Говорят, что многочлен делится на многочлен если в полученной посредством деления столбиком формуле (8.17) остаток

Договоримся называть многочленом нулевой степени любую комплексную постоянную. Тогда совершенно ясно, что любой многочлен делится на отличный от нуля многочлея нулевой степени. Изучим вопрос о делимости многочлена на многочлен первой степени.

Определение. Назовем комплексное число b корнем многочлена если равно нулю.

Теорема 8.2. Многочлен ненулевой степени делится на двучлен тогда и только тогда, когда Ь является корнем многочлена.

Доказательство. Запишем для многочленов формулу (8.17). Поскольку степень остатка в этой формуле обязана быть ниже степени делителя то — многочлен нулевой степени, т. е. Таким образом, формула (8.17) принимает вид

Полагая в формуле найдем, что По определению делится на тогда и только тогда, когда

остаток в формуле равен нулю, т. е. тогда и только тогда, когда Ь является корнем Теорема доказана.

2°. Естественно, возникает вопрос, всякий ли алгебраический многочлен имеет корни? Ответ на этот вопрос дает основная теорема алгебры: всякий многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень.

Опираясь на эту теорему, докажем, что алгебраический многочлен степени имеет точно корней. В самом деле, пусть — многочлен степени. Согласно основной теореме алгебры имеет хотя бы один корень т. е. для справедливо представление

в котором через обозначен некоторый многочлен степени Если то, согласно основной теореме алгебры, имеет хотя бы один корень т. е. для справедливо представление

котором через обозначен некоторый многочлен степени Повторяя указанные рассуждения далее, мы получим представления

В последнем из этих представлений через обозначен некоторый многочлен нулевой степени, т. е. Сопоставляя между собой равенства и учитывая, что будем иметь

Отметим, что комплексная постоянная с не равна нулю, ибо в противном случае многочлен был бы тождественно равен нулю и не являлся бы многочленом степени.

Из равенства (8.20) очевидно, что т. е. каждое из чисел является корнем многочлена Кроме того, из (8.20) очевидно, что, каково бы ни было комплексное число отличное от комплексное число

не равно нулю. Таким образом, многочлен имеет ровно корней:

Равенство (8.20) дает разложение многочлена на множители. Если известен вид многочлена то мы можем определить постоянную с в равенстве (8.20). Сравнивая в равенствах (8.20) и (8.16) коэффициенты при получим

Многочлен (8.16), у которого называется приведенным. Для приведенного многочлена формула разложения принимает вид

В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем рассматривать приведенные многочлены.

Среди корней многочлена могут быть совпадающие корни. Пусть — различные корни приведенного многочлена

Тогда для этого многочлена представление вида (8.21) принимает форму следующего равенства:

В этом разложении — некоторые целые числа, каждое из которых не меньше единицы, причем где — степень многочлена

Если для многочлена справедливо разложение (8.22), то говорят, что комплексное число а является корнем кратности а, комплексное число b является корнем кратности комплексное число с является корнем кратности у.

Корень, кратность которого равна единице, принято называть однократным, а корень, кратность которого больше единицы, принято называть кратным.

Можно дать и другое эквивалентное определение корня данной кратности: комплексное число а называется корнем многочлена кратности а, если для справедливо представление

3°. Пусть теперь

приведенный алгебраический многочлен с вещественными коэффициентами

Докажем, что этот многочлен обладает следующим важным свойством.

Теорема 8.3. Если комплексное число а является корнем многочлена с вещественными коэффициентами (8.24) кратности. А, то и сопряженное ему комплексное число а также является, корнем этого многочлена той же самой кратности X.

Доказательство. Начнем с того, что докажем следующий вспомогательный факт: если — многочлен с вещественными коэффициентами, то комплексная величина является сопряженной по отношению к величине

Так как коэффициенты многочлена (8.24) являются вещественными числами, то для доказательства указанного факта достаточно убедиться в том, что для любого номера комплексная: величина является сопряженной по отношению Но это последнее сразу вытекает из утверждения, доказанного в самом конце п. 1, точнее, из соотношения Положив в этом соотношении мы получим, что Далее, положив в том же соотношении мы получим;

Продолжая аналогичные рассуждения, мы убедимся в том, что для любого номера

Итак, доказано, что величина является сопряженной по отношению к величине т. е.

или, что то же самое,

Пусть теперь комплексное число а является корнем многочлена с вещественными коэффициентами кратности X, т. е. справедливо представление

в котором

Из сопоставления (8.26) и (8.25) вытекает, что

а последнее равенство в силу можно переписать в виде

Заметим теперь, что в силу установленного выше соотношения справедливо равенство

Подставляя (8.29) и (8.28), мы получим представление

в котором через обозначена величина

Для завершения доказательства теоремы 8.3 остается убедиться в том, что но это сразу вытекает из того, что «в силу того, что согласно не обращается нуль. Теорема 8.3 доказана.