3. Достаточные условия.

В этом пункте мы рассмотрим один из путей дополнительного исследования точек возможного, условного экстремума. Предположим, что в точке выполнены необходимые условия экстремума (13.55). Кроме того, дополнительно потребуем двукратной дифференцируемости функций (13.40) и

(13.41) в окрестности точки и непрерывности всех частных производных второго порядка в самой точке Из конструкции функции Лагранжа (13.51) очевидно, что при наличии связей (13.41) экстремумы функций (13.40) и Лагранжа совпадают. Но тогда из результатов § 6 гл. 12 вытекает, что для получения достаточного условия экстремума в точке функции (13.40) при наличии связей (13.41) следует присоединить к условиям (13.55) требование знакоопределенности в этой точке При этом в соответствии с результатами § 6 гл. 12 мы можем констатировать наличие в точке минимума, если при наличии связей и максимума, если Сделаем еще несколько замечаний практического характера. Прежде всего отметим, что второй дифференциал можно в данной точке возможного экстремума вычислять так, как если бы все переменные были независимыми. В самом деле, в общем случае второй дифференциал функции не обладает свойством инвариантности формы и должен был бы с учетом зависимости от определяться равенством

Но в точке возможного экстремума справедливы равенства

так что определяется той же формулой

и в случае, когда все переменные независимы. Далее, заметим, что поскольку нам требуется установить знакоопределенность лишь при наличии связей (13.41), то при проведении вычислений следует в формулу (13.56) для подставить вместо их значения, определяемые из системы (13.47). После этого следует изучить вопрос о знакоопределенности в данной точке