§ 4. ПРЕДЕЛ (ИЛИ ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ) ФУНКЦИИ

Перейдем теперь к изучению другой более сложной формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела (или предельного значения) функции. Но прежде всего мы должны уточнить сами понятия переменной величины и функции.

1. Понятия переменной величины и функции.

Как мы уже видели в гл. 1, к понятию функции приводит изучение двух переменных

величин, изменение которых взаимообусловлено. Поэтому естественно начать с уточнения понятия переменной величины.

Рассмотрение реальных физических переменных величин приводит нас к выводу, что эти величины не всегда могут принимать произвольные значения. Так, скорость материальной точки не может быть больше (т. е. скорости света в пустоте), температура тела не может быть меньше —273°, смещение материальной точки, совершающей гармонические колебания по закону может принимать значения только из сегмента

Отвлекаясь от конкретных физических свойств наблюдаемых в природе переменных величин, мы приходим к понятию математической переменной величины, характеризуемой только численными значениями, которые она может принимать

Множество всех значений, которые может принимать данная переменная величина х, называется областью изменения данной переменной величины. Переменная величина считается заданной, если задана область ее изменения.

В дальнейшем мы, как правило, будем обозначать переменные величины малыми латинскими буквами а области изменения этих переменных величин соответственно символами

Перейдем теперь к уточнению понятия функции.

Пусть задана переменная величина х, имеющая областью изменения некоторое множество

Если каждому значению переменной х из множества ставится в соответствие по известному закону некоторое число у, то говорят, что на множестве задана функция или

При этом переменная х называется аргументом или независимой переменной, множество называется областью задания функции, а то число у, которое соответствует данному значению х, называется частным значением функции в точке х. Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество которое называют либо областью изменения функции, либо множеством всех значений функции.

В обозначении букву часто называют характеристикой функции.

Для обозначения аргумента, функции и ее характеристики могут употребляться различные символы.

Остановимся на примерах функций.

Эта функция задана на сегменте — (при этом выражение под знаком корня является неотрицательным)

а множеством всех ее значений является сегмент (рис. 3.4).

2°. Так называемая функция Дирихле , которая определяется так:

Эта функция задана на бесконечной прямой — а множество всех ее значений состоит из двух точек 0 и 1.

(Термин происходит от латинского слова — знак.) Читается: равно сигнум Эта функция задана на всей бесконечной прямой — а множество всех ее значений состоит из трех точек (рис. 3.5).

Рис. 3.4

Рис. 3.5

или где символ или обозначает целую часть числа х или, точнее, наибольшее целое число, не превосходящее х. Читается: «у равно антье (от французского слова entier — целый). Эта функция задана на всей бесконечной прямой — а множеством всех ее значений является множество всех целых чисел (рис. 3.6).

. Эта функция задана на множестве всех натуральных чисел Множеством всех значений этой функции является множество натуральных чисел вида где (рис. 3.7).

Часто закон, устанавливающий соответствие между множеством всех значений аргумента и множеством всех значений функции, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

При этом следует подчеркнуть, что функция может задаваться разными формулами на разных участках области своего задания. Например, функция

задана аналитическим способом на всей бесконечной прямой (рис. 3.8).

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Весьма распространенным способом задания функции является так называемый табличный способ, заключающийся в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. При таком способе задания можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, отвечающие промежуточным значениям аргумента. Для этого применяется метод интерполяции, заключающийся в замене функции между ее соседними табличными значениями какой-либо функцией простой природы (например, линейной или квадратичной). Примером табличного способа задания функции может служить расписание движения поезда, которое определяет местоположение

жение поезда в отдельные моменты времени. Интерполяция позволяет приближенно определить местоположение поезда в любой промежуточный момент времени.

В практике физических измерений весьма распространенным является и еще один способ задания функции — так называемый графический способ, при котором соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика (снимаемого, например, на осциллографе).