2. Открытые и замкнутые множества.

Шаром в метрическом пространстве X (замкнутым шаром с Центром в точке а и радиусом называется совокупность всех, точек таких, что

Определение 2. Множество называется открытым в пространстве , если вместе с каждой своей точкой х оно содержит и некоторый шар также назовем открытым.

Определение 3. Окрестностью точки называется любое открытое множество, содержащее х. Окрестностью некоторого подмножества X (быть может, самого X) называется любое открытое множество, содержащее данное подмножество Окрестность точки х будем обозначать через 2.

Определение 4. Пусть множество тогда точка называется предельной точкой множества если каждая окрестность точки х содержит по крайней мере одну точку множества отличную от х.

Точка называется изолированной точкой множества если существует окрестность точки у, в которой нет точек отличных от у.

Определение 5. Точка у, принадлежащая множеству — подмножеству X, — называется внутренней, если она содержится в вместе с некоторой своей окрестностью. Точки, внутренние для дополнения в X, называются внешними по» отношению к Если точка не является ни внутренней, ни внешней по отношению к то она называется граничной для Множество граничных точек для обозначается через

Определение 6. Множество в метрическом пространстве называется замкнутым, если его дополнение открыто.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Сумма любого числа открытых множеств, пересечение любого конечного числа открытых множеств есть

множество открытое, и все метрическое пространство X открыты.

Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто, сумма любого конечного числа замкнутых множеств замкнута, и X замкнуты.

Доказательство. Пусть — семейство открытых в X множеств. Если , то существует такое, что следовательно, существует число такое, что Следовательно, открытое множество.

Далее, если открыты в X, то из того, что же следует, что для любого т. е. для любого существует такое , что Взяв получаем, что для любого

т. е. пересечение множеств — открытое множество.

Второе утверждение непосредственно следует из первого, воспользоваться принципом двойственности для множеств.

Например, пусть — семейство замкнутых в X множеств. Для каждого а введем в рассмотрение открытое множество Тогда открытое множество, следовательно, замкнуто. То, что и X одновременно открыты и замкнуты, очевидно

Определение 7. Замыканием множества называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих

Очевидно, что содержится в каждом замкнутом множестве, содержащем Следовательно, замыкание множества есть наименьшее из всех замкнутых множеств, содержащих У. Справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Операция замыкания в метрическом пространстве удовлетворяет следующим свойствам:

Доказательство. Свойство 1) очевидно: если то х принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему следовательно, х принадлежит и пересечению этих замкнутых множеств, т. е.

Свойство 2) вытекает из того, что У, будучи пересечением замкнутых множеств, является в силу леммы 1 замкнутым множеством.

Докажем свойство 3), так как то каждое замкнутое множество, содержащее содержит и следовательно, переселение этих замкнутых множеств также содержит но У принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему следовательно, Аналогично Таким образом, обратно, в силу леммы 1 замкнуто, следовательно,

Утверждение 4) означает, что и X — замкнутые множества.

Лемма полностью доказана.

Попутно мы показали, что если множество то

Дадим следующее определение.

Определение 8. Пространство называется связным, если его нельзя представить в виде суммы двух непустых открытых непересекающихся подмножеств.

Очевидно, что пространство связно тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде суммы двух непустых замкнутых непересекающихся множеств.

Множество У, принадлежащее метрическому пространству X, связно, если У связно как подпространство в X.