2. Открытые и замкнутые множества.
Шаром
в метрическом пространстве X (замкнутым шаром
с Центром в точке а и радиусом
называется совокупность всех, точек
таких, что
Определение 2. Множество
называется открытым в пространстве
, если вместе с каждой своей точкой х оно содержит и некоторый шар
также назовем открытым.
Определение 3. Окрестностью точки
называется любое открытое множество, содержащее х. Окрестностью некоторого подмножества X (быть может, самого X) называется любое открытое множество, содержащее данное подмножество
Окрестность точки х будем обозначать через 2.
Определение 4. Пусть множество
тогда точка
называется предельной точкой множества
если каждая окрестность точки х содержит по крайней мере одну точку множества
отличную от х.
Точка
называется изолированной точкой множества
если существует окрестность точки у, в которой нет точек
отличных от у.
Определение 5. Точка у, принадлежащая множеству
— подмножеству X, — называется внутренней, если она содержится в
вместе с некоторой своей окрестностью. Точки, внутренние для дополнения
в X, называются внешними по» отношению к
Если точка не является ни внутренней, ни внешней по отношению к
то она называется граничной для
Множество граничных точек для
обозначается через
Определение 6. Множество в метрическом пространстве называется замкнутым, если его дополнение открыто.
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Сумма любого числа открытых множеств, пересечение любого конечного числа открытых множеств есть
множество открытое,
и все метрическое пространство X открыты.
Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто, сумма любого конечного числа замкнутых множеств замкнута,
и X замкнуты.
Доказательство. Пусть
— семейство открытых в X множеств. Если
, то существует
такое, что
следовательно, существует число
такое, что
Следовательно,
открытое множество.
Далее, если
открыты в X, то из того, что же
следует, что для любого
т. е. для любого
существует такое
, что
Взяв
получаем, что для любого
т. е. пересечение множеств
— открытое множество.
Второе утверждение непосредственно следует из первого,
воспользоваться принципом двойственности для множеств.
Например, пусть
— семейство замкнутых в X множеств. Для каждого а введем в рассмотрение открытое множество
Тогда
открытое множество, следовательно,
замкнуто. То, что
и X одновременно открыты и замкнуты, очевидно
Определение 7. Замыканием
множества
называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих
Очевидно, что
содержится в каждом замкнутом множестве, содержащем
Следовательно, замыкание множества
есть наименьшее из всех замкнутых множеств, содержащих У. Справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Операция замыкания в метрическом пространстве удовлетворяет следующим свойствам:
Доказательство. Свойство 1) очевидно: если
то х принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему
следовательно, х принадлежит и пересечению этих замкнутых множеств, т. е.
Свойство 2) вытекает из того, что У, будучи пересечением замкнутых множеств, является в силу леммы 1 замкнутым множеством.
Докажем свойство 3), так как
то каждое замкнутое множество, содержащее
содержит и
следовательно, переселение этих замкнутых множеств также содержит
но У принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему
следовательно,
Аналогично
Таким образом,
обратно,
в силу леммы 1 замкнуто, следовательно,
Утверждение 4) означает, что
и X — замкнутые множества.
Лемма полностью доказана.
Попутно мы показали, что если множество
то
Дадим следующее определение.
Определение 8. Пространство
называется связным, если его нельзя представить в виде суммы двух непустых открытых непересекающихся подмножеств.
Очевидно, что пространство связно тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде суммы двух непустых замкнутых непересекающихся множеств.
Множество У, принадлежащее метрическому пространству X, связно, если У связно как подпространство в X.