2. Неопределенный интеграл.

Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции (на этом интервале) и обозначается символом

В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выражение подынтегральным выражением а сама функция подынтегральной функцией.

Если — одна из первообразных функций для функции на интервале то в силу следствия из теоремы 8.1

где С — любая постоянная

Подчеркнем, что если первообразная (а значит, и неопределенный интеграл) для функции на интервале существует, то подынтегральное выражение в формуле (8.1) представляет собой дифференциал любой из этих первообразных.

В самом деле, пусть — любая из первообразных для функции на интервале т. е. для всех х из интервала Тогда

Примеры. на интервале ибо функция является одной из первообразных для функции на указанном интервале.

на всей бесконечной прямой ибо функция является одной из первообразных для функции на бесконечной прямой.

В этой главе мы не будем заниматься вопросом о существовании первообразных (или неопределенных интегралов) для широких классов функций. Здесь мы лишь отметим, что в § 4 гл. 9 будет доказано, что для всякой функции непрерывной на интервале существует на этом интервале первообразная функция (и неопределенный интеграл).