Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
3. Случай функции двух переменных.
На практике часто встречается задача об экстремуме функции двух переменных
В этом пункте мы приведем результаты, относящиеся к этому случаю.
Пусть частные производные в некоторой точке обозначены символами соответственно. Справедливо следующее
Утверждение. Пусть функция двух переменных один раз дифференцируема в окрестности точки и два раза дифференцируема в самой точке и пусть является стационарной точкой. Тогда если в точке выполнено условие то функция имеет в точке локальный экстремум (максимум при и минимум при
Если же в точке , то функция не имеет в этой точке локального экстремума.
Доказательство. Справедливость первой части утверждения непосредственно вытекает из теоремы 12.16 и критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, ибо
Докажем вторую часть утверждения. Итак, пусть в точке справедливо неравенство Докажем, что в этом случае второй дифференциал в точке представляет собой знакопеременную форму. Рассмотрим сначала случай . Используя введенные выше обозначения
получим следующее выражение для второго дифференциала:
Легко, проверить, что при и при дифференциал имеет разные знаки, т. е. является знакопеременной формой, и поэтому согласно теореме 12.16 функция не имеет в точке локального экстремума.
Рассмотрим теперь случай Тогда из условия вытекает, что Следовательно, так же как и выше, имеем
Пусть и величина столь мала (из условия следует, что такой выбор возможен), что выражение сохраняет знак величины Тогда из формулы (12.85) вытекает, что имеет разные знаки при т. е. функция не имеет локального экстремума в точке Утверждение полностью доказано.
Замечание. Требование [соответственна) является необходимым условием локального минимума [максимума] в точке дважды дифференцируемой в этой точке функции
В самом деле, пусть ради определенности имеет в точке локальный минимум, но условие не выполнено. Тогда найдутся такие, что
Рассмотрим функцию заведомо определенную при всех достаточно малых по модулю. Функция обязана иметь локальный минимум в точке чему противоречит условие
в некоторой точке 
обозначены символами 
соответственно. Справедливо следующее
один раз дифференцируема в окрестности точки 
и два раза дифференцируема в самой точке 
и пусть 
является стационарной точкой. Тогда если в точке 
выполнено условие 
то функция 
имеет в точке 
локальный экстремум (максимум при 
и минимум при 
, то функция 
не имеет в этой точке локального экстремума.
справедливо неравенство 
Докажем, что в этом случае второй дифференциал 
в точке 
представляет собой знакопеременную форму. Рассмотрим сначала случай 
. Используя введенные выше обозначения
и при 
дифференциал 
имеет разные знаки, т. е. является знакопеременной формой, и поэтому согласно теореме 12.16 функция не имеет в точке 
локального экстремума.
Тогда из условия 
вытекает, что 
Следовательно, так же как и выше, имеем
столь мала (из условия 
следует, что такой выбор 
возможен), что выражение 
сохраняет знак величины 
Тогда из формулы (12.85) вытекает, что 
имеет разные знаки при 
т. е. функция 
не имеет локального экстремума в точке 
Утверждение полностью доказано.
[соответственна) 
является необходимым условием локального минимума [максимума] в точке 
дважды дифференцируемой в этой точке функции 
имеет в точке 
локальный минимум, но условие 
не выполнено. Тогда найдутся 
такие, что
заведомо определенную при всех 
достаточно малых по модулю. Функция 
обязана иметь локальный минимум в точке 
чему противоречит условие
