7. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции.

Пусть функция положительна дифференцируема в данной точке х. Тогда и сложная функция аргумента х вида где в силу теоремы 5.3 будет также дифференцируема в указанной точке х, причем для производной этой сложной функции по аргументу х будет справедлива формула

Величину (5.42) принято называть логарифмической производной функции в данной точке х.

Логарифмическая производная может быть использована для вычисления производных некоторых функций, не являющихся простейшими элементарными.

В качестве примера вычислим производную так называемой степенно-показательной функции, т. е. функции вида где функции, дифференцируемые в данной точке х, первая из которых строго положительна в этой точке.

При таких ограничениях функция будет дифференцируема в данной точке х. В самом деле, в силу теоремы 5.3 функция дифференцируема в точке х. Значит, на основании теоремы о дифференцируемости произведения двух дифференцируемых функций можно утверждать дифференцируемость в данной точке х и функции причем в силу второй формулы (5.24)

Из (5.42) и (5.43) получим, что

Учитывая, что окончательно получим следующее выражение для производной степенно-показательной функции:

Формула (5.44) справедлива в предположении, что дифференцируемы в данной точке в этой точке.