6. Компактность.

Покрытием множества А в метрическом пространстве называется любое семейство открытых множеств, объединение которых содержит А.

Определение 15. Метрическое пространство X называется компактным или компактом, если любое его покрытие

крытие содержит конечное подпокрытие, т. е. из всякого покрытия пространства X открытыми множествами можно выделить конечную систему, содержащую все пространство (подпокрытие).

Сегмент числовой оси является компактом, что вытекает из того факта, что из всякого покрытия этого сегмента открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие,

Мбжно показать, что метрическое пространство компактна тогда и только тогда, когда из всякой последовательности его точек можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из этого пространства.

Определение 16. Система подмножеств множества называется центрированной, если любое конечное подсемейство этой системы имеет непустое пересечение.

Справедливы следующие леммы.

Лемма 5. Для того чтобы метрическое пространство X было компактным, необходимо и достаточно, чтобы каждая центрированная система замкнутых его подмножеств имела непустое пересечение.

Доказательство. Пусть X компактно, и пусть — центрированная система замкнутых подмножеств. Множества открыты, и никакая конечная система из этих множеств не покрывает X. Значит, поскольку X компактно, не могут служить покрытием компактного пространства X. В противном случае мы могли бы выбрать конечное подпокрытие X из системы Но если не покрывает X, то не пусто, так как

Обратно, пусть любая центрированная система замкнутых подмножеств из X имеет непустое пересечение. Пусть — открытое покрытие X. Выберем из этого покрытия конечное подпокрытие. Положим и заметим, что так как покрывает все X, то Следовательно, не является центрированной, т. е. существуют такие что но тогда - конечное подпокрытие покрытия что и требовалось доказать.

Лемма 6. Замкнутое подмножество компактного метрического пространства компактно

Доказательство. Пусть — замкнутое подмножество компактного метрического пространства X и некоторая система открытых множеств — покрытие . К системе присоединим

открытое множество и полученное покрытие всего пространства обозначим через Выберем в силу компактности X из системы конечное покрытие всего пространства — систему Выбрасывая, если это необходимо, из системы множество мы получим конечное покрытие множества выбранное из системы Лемма доказана.

Лемма 7. Образ компактного пространства X при непрерывном отображении — компактное множество.

Доказательство. Пусть непрерывное отображение X в Пусть - покрытие открытыми множествами, а Множества открыты (см. лемму 4), и — покрытие Выберем из этого покрытия в силу компактности X конечное подпокрытие: тогда покрытие , что и требовалось доказать.

Лемма 8. Компактное подмножество метрического пространства X замкнуто

Доказательство. Пусть — компактное подмножество, и пусть для любого существуют окрестности и точек а и х соответственно такие, что . В качестве таких окрестностей можно, например, взять шары Множество покрытие множества . В силу компактности выберем из этого покрытия конечное подпокрытие: Рассмотрим соответствующие окрестности которые по построению не пересекаются с является окрестностью точки а.

Очевидно, что и поэтому . Следовательно, т. е. множество открыто, а замкнуто.

Лемма 9. Пусть где Е — действительная числовая ось. Если — непрерывное отображение, компакт, то ограничено и достигает своих точных верхней и нижней граней.

Доказательство. Пусть — непрерывный образ компакта (компактного пространства). По лемме 7 подмножество метрического пространства компактно, следовательно, ограниченно и замкнуто (см. гл. 4, § 7, п. 3). Осталось заметить, что непустое ограниченное замкнутое множество числовой

оси содержит точные верхнюю и нижнюю грани Лемма доказана.