§ 2. ТЕОРЕМА О НУЛЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Теорема 6.3 (теорема Ролля). Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних

точках этого сегмента. Пусть, кроме того, Тогда внутри сегмента найдется точка такая, что значение производной в этой точке равно нулю.

Кратко можно сказать, что между двумя равными значениями дифференцируемой функции обязательно лежит нуль производной этой функции.

Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте то согласно теореме 4.15 эта функция достигает на этом сегменте максимального значения М и своего минимального значения т. Могут представиться два случая: . В случае Поэтому производная равна нулю в любой внутренней точке сегмента . В случае поскольку можно утверждать, что хотя бы одно из двух значений М или достигается функцией в некоторой внутренней точке сегмента Но тогда функция имеет в этой точке локальный экстремум. Поскольку функция дифференцируема в точке , то по теореме Теорема полностью доказана.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если крайние ординаты кривой равны, то согласно теореме Ролля на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси (рис. 6.4).

Как мы увидим ниже, теорема Ролля лежит в основе многих формул и теорем математического анализа.

Замечание. В теореме Ролля требуется, чтобы функция была непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Так как из дифференцируемости во всех внутренних точках вытекает непрерывность во всех внутренних точках, то по существу вместо непрерывности на сегменте можно было бы потребовать непрерывность в точке а справа и в точке b слева.