Топологические пространства

В настоящем разделе будут рассмотрены основные свойства топологических пространств. Материал данного раздела вполне аналогичен изложенному в разделе о метрических пространствах, и поэтому мы повторим лишь основные определения, а доказательства некоторых теорем, поскольку они являются дословным повторением соответствующих доказательств в разделе о метрических пространствах, опустим. Подробнее мы остановимся лишь на специфических особенностях топологических пространств.

1. Определение топологического пространства. Хаусдорфово топологическое пространство. Примеры.

Определение 1. Говорят, что на множестве X определена структура топологического пространства, если задана система его подмножеств, обладающая свойствами:

1) само множество X и пустое множество 0 принадлежат

2) сумма любого числа множеств системы и пересечение любого конечного числа множеств системы принадлежат

Система удовлетворяющая условиям называется топологией на множестве X, а составляющие ее множества — открытыми в этой топологии.

Таким образом, пара, состоящая из множества X и топологии является топологическим пространством, которое иногда удобно обозначать через .

Определение 1 выделяет весьма общий класс пространств. Обычно этот класс несколько сужают, добавляя к свойствам 1) и 2) так называемые аксиомы отделимости. Из этих аксиом мы рассмотрим наиболее часто используемые.

Аксиома (Хаусдорфа): для любых различных точек х и у, принадлежащих множеству X, существуют такое множество содержащее точку х, и множество содержащее точку у, такие что они оба принадлежат системе и не пересекаются, т. е.

Топологические пространства, удовлетворяющие аксиоме (аксиоме Хаусдорфа), называются и.

Аксиома для любых двух различных точек х и у, принадлежащих множеству X, существует множество принадлежащее системе содержащее точку х и не содержащее точку у, а также существует множество Е из системы содержащее точку у и не содержащее точку х.

Топологические пространства, удовлетворяющие аксиоме называются пространствами.

Ясно, что если выполнена аксиома то аксиома выполнена, т. е. класс топологических пространств, удовлетворяющих аксиомам 1), 2), более узкий, чем класс топологических пространств, удовлетворяющих аксиомам 1), 2),

Примером пространства, удовлетворяющего аксиомам 1), 2), и не удовлетворяющего аксиомам 1), 2), является следующее топологическое пространство. Множество X состоит из точек отрезка [0, 1], а открытыми считаются следующие множества: где -произвольное, не более чем счетное множество отрезка [0, 1]. Очевидно, что аксиомы 1), 2), выполнены. Однако аксиома не выполняется.

Не всякое топологическое пространство удовлетворяет аксиоме Вот традиционный пример. Множество состоит из двух точек. Топологию зададим открытыми множествами, к которым отнесем все X, пустое множество 0 и точку Аксиомы 1) и 2) выполнены, а аксиома — нет.

Приведем наиболее часто встречающиеся примеры топологических пространств.

Примеры.

1) Рассмотрим произвольное метрическое пространство . Открытые множества в силу леммы 1 раздела о метрических пространствах удовлетворяют свойствам 1) и 2) определения 1 топологического пространства. Аксиома (Хаусдорфа) также выполняется в метрическом пространстве: если то и шары — открытые множества в , такие что

Таким образом, всякое метрическое пространство является и хаудорфовым топологическим пространством где система открытых множеств в .

2) Рассмотрим множество X произвольной природы. Отнесем к системе только все множество X и пустое множество 0. Аксиомы 1), 2), очевидно, выполнены. Однако аксиомы не выполнены. Такая топология называется антидискретной.

3) Пусть X — произвольное множество. Отнесем к системе все подмножества множества X. Легко проверить, что — хаусдорфова топология. Такая топология называется дискретной.

Дадим следующее определение.

Определение 2. Окрестностью точки х, принадлежащей топологическому пространству (X, 2), называется любое открытое множество, содержащее точку х. Окрестностью некоторого подмножества X (быть может, самого X) называется любое открытое множество, содержащее данное подмножество (или X). Окрестность точки х будем обозначать 2.

Предположим, что для каждой точки х, принадлежащей топологическому пространству среди всех окрестностей этой точки выделены некоторые, причем так, что какова бы ни была точка и ее произвольная окрестность существует окрестность точки х из выделенной системы, что

Определение 3. Система выделенных окрестностей называется определяющей системой окрестностей данного топологического пространства.

Справедлива следующая лемма, которая дает удобный способ задания топологии.

Лемма 1. Пусть X — произвольное множество. Для каждой точки х определим некоторые подмножества 2, называемые «окрестностями» точки х и удовлетворяющие условиям:

а) каждая точка имеет хотя бы одну свою «окрестность» и принадлежит любой своей «окрестности»;

б) пересечение двух «окрестностей» точки содержит некоторую «окрестность» этой же точки;

в) какова бы ни была «окрестность» точки и точка существует «окрестность» точки у такая, что

Тогда если отнести к системе всевозможные «окрестности» точек их всевозможные объединения и пустое множество, то будет задана топология на множестве X и (X, 2) — топологическое пространство, в котором система всех

«окрестностей» является определяющей системой. Обратно, всякое топологическое пространство может быть получено таким способом.

Доказательство. Проверим выполнение аксиом топологического пространства. То, что все X принадлежит очевидно, 0 отнесено к по условию.

Аксиома 1) выполнена.

Для проверки аксиомы 2) надо убедиться лишь в том, что. если . Следовательно, надо установить, что может быть получено как объединение некоторых «окрестностей», т. е. надо убедиться, что для любой точки существует «окрестность» Но и 22 принадлежат поэтому имеются «окрестности» — их пересечение содержит по условию б) некоторую «окрестность» точки х, которая содержится, очевидно,

Обратно, если задано топологическое пространство (X, то в качестве «окрестности» точки х, удовлетворяющей условиям можно взять произвольное множество из системы. содержащее точку х.

Используя эту лемму, приведем примеры еще двух хаусдорфовых топологических пространств.

Примеры.

1) В качестве X возьмем двумерную плоскость Окрестность любой точки получим, если из любого открытого круга с центром в х удалим все отличные от самой точки X точки, лежащие на вертикальном диаметре этого круга. Полученное топологическое пространство является хаусдорфовым.

2) Рассмотрим в качестве X отрезок [0, 1], окрестности всех точек, кроме точки 0, определим обычным образом, а окрестностями точки 0 будем считать всевозможные полуинтервалы из которых выкинуты точки где — натуральное число. Это, как легко видеть, пример хаусдорфова топологического пространства.

Пусть - топологическое пространство, а У—подмножество X. Тогда на подмножестве X можно рассмотреть след, системы т. е. множества вида Легко видеть, что тем самым на задана топология, поэтому само превращается в топологическое пространство и называется подпространством пространства . Топология, задаваемая системой называется: индуцированной топологией.

Так же, как и в случае метрических пространств, пространство называется связным, если его нельзя представить в виде суммы двух непустых открытых непересекающихся,

подмножеств. Множество в топологическом пространстве связно, если связно, как подпространство в .

2. Замечание о топологических пространствах.

После того как введены открытые множества для топологических пространств, можно ввести все понятия, введенные для метрических пространств. Так, дословно сохраняются определения предельной точки множества (см. определение 4 раздела о метрических пространствах), определение внутренней точки (см. определение 5 раздела о метрических пространствах), определение замкнутого множества (см. определение 6 раздела о метрических пространствах), определение замыкания множества (см. определение 7 раздела о метрических пространствах), определение плотного и всюду плотного множества (см. определение 10 раздела о метрических пространствах), полностью сохраняется определение понятия нигде не плотного, совершенного множества, данные для метрических пространств. Точно так же, как и в случае метрических пространств, в случае топологических пространств определяется важное понятие непрерывного отображения (определение 12 раздела о метрических пространствах), понятие гомеоморфного отображения (определение 14 раздела о метрических пространствах), определение компактного топологического пространства, или компакта (см. определение 15 раздела о метрических пространствах). Так же, как и для метрических пространств, для топологических пространств вводится понятие центрированной системы (определение 16 раздела о метрических пространствах), определение базы топологии топологического пространства, топологического пространства со счетной базой. Топологические пространства со счетной базой называются топологическими пространствами со второй аксиомой счетности.

Читатель без труда сформулирует эти определения для случая топологических пространств, для этого в соответствующих определениях раздела о метрических пространствах выражение «метрическое пространство» следует заменить на выражение «топологическое пространство».

Согласно этим определениям в случае топологического пространства остаются справедливыми основные утверждения, доказанные для метрических пространств. Это вполне естественно, поскольку доказательства этих утверждений в основном используют понятие открытого и замкнутого множества и непосредственно не зависят от введенной там метрики.

Так, лемма 1, утверждающая, что объединение произвольного числа открытых множеств и пересечения конечного их

числа является множеством открытым, есть соответствующая аксиома топологического пространства; утверждение леммы 2, в. том числе и доказательства свойств операции замыкания, полностью сохраняется.

На топологические пространства переносится также и понятие сходящейся последовательности (определение 11 раздела о метрических пространствах), а именно: последовательность точек топологического пространства называется сходящейся к точке а этого пространства, если любая окрестность точки а содержит все точки последовательности за, исключением конечного числа. Если последовательность сходится к точке а, то пишут, что при или

Однако в топологических пространствах это понятие не играет столь большой роли, как в метрических пространствах. В самом деле, лемма 3 утверждала, что в метрическом пространстве точка а принадлежит замыканию А некоторого множества А тогда и только тогда, когда существует последовательность точек множества А, сходящаяся к а. В топологическом пространстве этот факт может быть несправедлив. (Вспомним, что при доказательстве этого утверждения в метрических пространствах мы строили последовательность шаров

О а, вложенных друг в друга для любого натурального

Можно выделить класс топологических пространств, обладающих аналогичным свойством.

Назовем топологическое пространство пространством первой аксиомой счетности, если для любой его точки а существует счетная система ее окрестностей такая, что для любого открытого множества 2а, содержащего точку найдется окрестность 2°, обладающая свойством: Такая система окрестностей называется счетной определяющей системой окрестностей точки а.

В метрическом пространстве первая аксиома счетности, очевидно, выполнена.

В топологическом пространстве (X, 2) с первой аксиомой счетности справедливо утверждение: точка принадлежит замыканию А некоторого множества А тогда и только тогда, когда существует последовательность точек множества А, сходящаяся к а.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству соответствующего утверждения для случая метрических пространств. Последовательность шаров О следует заменить на последовательность окрестностей из системы

мы причем всегда можно считать, что . В противном случае надо заменить на .

Утверждение на с. 544 полностью сохраняется. Сохраняется также и утверждение леммы 4 — критерий непрерывности отображения.

На случай топологических пространств полностью переносится критерий компактности в терминах центрированной системы замкнутых подмножеств (лемма 5), утверждения лемм 6, 7, 8, 9 о свойствах компакта и непрерывных функций на нем.

Заметим, что топологическое пространство может не быть пространством со счетной базой топологии даже тогда, когда оно является пространством с первой аксиомой счетности и в нем имеется счетное всюду плотное множество. Однако если в топологическом пространстве есть счетная база топологии, то топологическое пространство сепарабельно и удовлетворяет первой аксиоме счетности (ср. с леммой 11). Точно так же, как и в случае метрических пространств (см. определение 18), топологическое пространство называется пространством со второй аксиомой счетности, если в нем существует хотя бы одна база топологии, состоящая не более чем из счетного числа множеств.