3. Метод трапеций.

Пусть, как и выше, функция имеет рассматриваемом сегменте непрерывную вторую производную.

Снова начнем с вычисления интеграла но на этот раз будем исходить из формул (11.15) и (11.16), считая, что Тогда

где — остаточный член, подлежащий оценке.

Обозначая, как и в через первообразную функции и учитывая, что будем иметь

Пусть, как и в методе прямоугольников, Разлагая функции по формуле Маклорена с остаточным членом в интегральной форме (см. п. 4 § 5 гл. 9) и полагая будем иметь

Подставляя в эти формулы значения вычисленные а получим

Подставляя последние два выражения в (11.25), получим

Имея в виду, что функция неотрицательна на сегменте , применим к последнему интегралу первую формулу среднего значения (см. п. 2 § 4 гл. 9). Учитывая, что и обозначая через некоторое значение аргумента из сегмента [0, с], получим

Применяя к выражению в квадратных скобках формулу усреднения (11.14) при и обозначая через некоторое значение аргумента из сегмента , окончательно получим

Для вычисления интеграла как и в методе прямоугольников, разобьем сегмент на равных частей при помощи точек и применим формулу (11.24) к каждому из частичных сегментов. Получим

где

(Мы воспользовались формулой усреднения

Формула (11.26) называется формулой трапеций. Геометрический смысл этой формулы ясен из рис. 11.15: площадь криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции на сегменте приближенно заменяется суммой площадей, указанных на этом чертеже прямолинейных трапеций. Сравнение остаточного члена (11.27) с остаточным членом (11.23) показывает, что метод трапеций не дает увеличения точности по сравнению с методом прямоугольников.