4. Дифференциалы высших порядков.

Выше для обозначения дифференциала аргумента и соответствующего ему дифференциала функции мы использовали символы и соответственно

В рассуждениях настоящего пункта нам придется использовать для обозначения дифференциала аргумента и соответствующего ему дифференциала функции и другие символы. В частности, мы будем обозначать дифференциал аргумента и соответствующий ему дифференциал функции символами соответственно. В этих обозначениях инвариантное по форме выражение для первого дифференциала функции будет иметь вид

Рассмотрим выражение для первого дифференциала дифференцируемой в данной точке х функции

Предположим, что величина, стоящая в правой части (5.50), представляет собой функцию аргумента х, дифференцируемую в данной точке х. Для этого достаточно потребовать, чтобы функция была два раза дифференцируема в данной точке х, а аргумент либо являлся независимой переменной, либо представлял

собой дважды дифференцируемую функцию некоторой независимой переменной

При этих предположениях мы можем рассмотреть дифференциал

от величины (5.50).

Определение 1. Значение дифференциала от первого дифференциала (5.50), взятое при называется вторым дифференциалом функции (в данной точке и обозначается символом

Итак, по определению

Дифференциал любого порядка вводится по индукции.

Предположим, что уже введен дифференциал порядка и что функция раз дифференцируема в данной точке х, а ее аргумент х либо является независимой переменной, либо представляет собой раз дифференцируемую функцию некоторой независимой переменной

Определение 2. Значение дифференциала от дифференциала взятое при называется дифференциалом функции (в данной точке и обозначается символом

Итак, по определению

При вычислении второго и последующих дифференциалов приходится существенно различать два случая: 1) случай, когда аргумент х является независимой переменной; 2) случай, когда аргу мент х представляет собой соответствующее число раз дифференцируемую функцию некоторой независимой переменной

В первом случае, когда х является независимой переменной, мы имеем право считать, что зависит от равен одному и тому же приращению аргумента (для всех точек При этом мы получим, что

Последнее соотношение и второе соотношение (5.28) позволяют нам записать следующую цепочку равенств:

Итак, в случае, когда аргумент х является независимой переменной, для второго дифференциала функции справедливо представление

Совершенно аналогично, по индукции легко убедиться в том, что в случае, когда аргумент х является независимой переменной, для дифференциала раз дифференцируемой функции справедливо представление

Таким образом, в случае, когда аргумент х является независимой переменной, производная порядка функции равна отношению дифференциала этой функции степени дифференциала аргумента

Совсем другой вид имеют представления для второго и последующих дифференциалов в случае, когда аргумент х является соответствующее число раз дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной

Установим выражение для второго дифференциала, считая, что функция два раза дифференцируема в данной точке х, а ее аргумент х является два раза дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной

Повторяя рассуждения из цепочки (5.51), мы на этот раз получим

Заметим, что в силу определения второго дифференциала функции

Учитывая это соотношение, мы приходим к следующйлу представлению:

Сравнивая полученное представление (5.53) с представлением (5.52), мы убедимся в том, что (в отличие от первого дифференциала) второй дифференциал уже не обладает свойством инвариантности формы.

Тем более не обладают свойством инвариантности формы последующие дифференциалы.