10. Формула Тейлора для отображений одного нормированного пространства в другое.
Согласно рассмотрениям 
сильная дифференцируемость отображения 
означает, что разность 
может быть представлена в виде линейного члена по 
и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно 
Этот факт обобщает, как мы знаем, соответствующее разложение для дифференцируемой функции 
переменных. Для функции 
справедлива, как было показано в этой главе, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Поэтому, естественно, возникает вопрос о получении формулы Тейлора с остаточным членом в форме, аналогичной форме Пеано, и для отображений нормированных пространств. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть 
— отображение нормированного пространства
в нормированное пространство 
определенное на некотором открытом множестве 
и такое, что 
существует и представляет собой равномерно непрерывную? функцию от х в 2. Тогда имеет место равенство
Доказательство. Проведем доказательство этой теоремы по индукции. При 
равенство означает просто дифференцируемость отображения 
и тем самым это равенство по условию теоремы выполнено. Рассмотрим теперь произвольное фиксированное целое число 
и предположим, Что равенство, получающееся из (4) заменой 
на 
справедливо для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых 
заменено на 
Докажем равенство 
Рассмотрим отображение 
и применим к нему формулу Тейлора 
в которой 
заменено на 
а вместо приращения 
рассмотрено приращение 
, где t — число, принадлежащее сегменту [0, 1]. Очевидно, что
где 
, а форма 
имеет 
аргумента. Проинтегрируем обе части формулы Тейлора для 
по сегменту 
и воспользуемся формулой
Ньютона — Лейбница для абстрактных функций (см. формулу 
Получим
где
Здесь мы воспользовались тем, что по определению интеграла от абстрактных функций справедливо равенство 
а также формулой для отображения 
Таким образом 
где для 
в силу свойств 3 интеграла (см. п. 5) справедлива оценка
Следовательно, формула Тейлора для отображения 
одного нормированного пространства 
в другое нормированное пространство 
установлена. Теорема доказана.
